Bài 61 trang 119 SBT Toán 11 - Cánh diều: Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm...

Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 8 cm (hình vẽ a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $n$ (cm), miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $2n$ (cm) (hình vẽ b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu. Tính thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối.

Do khi đổ nước từ khay nước a sang khay nước b, ta thấy tổng thể tích nước ở hai khay không thay đổi, do đó ta có thể tính được lượng nước đã đổ sang khay b.

Do chiều cao mực nước của khay b cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao khay b, nên có thể coi “hình dạng” của nước trong khay b là một khối chóp cụt tứ giác đều, nên ta có thể gọi chiều cao của nước trong khay b là $h$, và tính diện tích đáy còn lại của khối chóp này. Lúc này ta sẽ tính dược tích ${n^2}h$, từ đó có thể tính được thể tích của khay b.

Ban đầu, thể tích nước có ở trong khay a là $8.20.10 = 1600{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)$.

Sau khi đổ nước sang khay thứ hai, ta thấy rằng lượng nước trong khay a giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu, cho nên ta suy ra lượng nước có ở trong khay b bằng $\frac{1}{4}$ lượng nước ban đầu có ở trong khay a.

Thể tích nước trong khay b là $1600.\frac{1}{4} = 400{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)$.

Giả sử khay b có hình dạng chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A’B’C’D’$ như hình vẽ dưới đây (với $A’B’C’D’$ là đáy bé).

Xét hình thang cân $ACC’A’$, gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $A’$ và $C’$ trên $AC$. Trên $C’K$, lấy điểm $P$ sao cho $\frac{{C’P}}{{C’K}} = \frac{2}{3}$. Đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ cắt $AA’$, $A’H$, $C’C$ lần lượt tại $M$, $N$ và $Q$.

Do chiều cao mực nước trong khay b bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao khay, nên ta có thể coi $C’P$ chính là chiều cao nước trong khay.

Gọi chiều cao của khay b là $h{\rm{ }}\left( {cm} \right)$. Theo hình vẽ, ta thấy rằng $A’H = C’K = h$. Suy ra $C’P = \frac{2}{3}h$, có nghĩa chiều cao nước trong khay b là $\frac{2}{3}h$.

Do $AC = 2n$, $A’C’ = n$ và $AH = CK$, nên ta suy ra $AH = CK = \frac{n}{2}$ và $HK = NP = n$.

Tam giác $A’AH$ có $MN\parallel AH$, nên theo định lý Thales, ta có:

$\frac{{MN}}{{AH}} = \frac{{A’N}}{{AH}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN = \frac{2}{3}AH = \frac{n}{3}$

Chứng minh tương tự ta cũng có $PQ = \frac{n}{3}$. Do đó $MQ = n + \frac{n}{3} + \frac{n}{3} = \frac{{5n}}{3}$.

Vậy nước trong khay b có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, với hai đáy là các hình vuông có đường chéo lần lượt là $n$ và $\frac{{5n}}{3}$. Do đó, thể tích nước trong khay b là:

$V = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3}h} \right)\left( {\frac{{{n^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{{n^2}}}{2}.\frac{{{{\left( {\frac{{5n}}{3}} \right)}^2}}}{2}} + \frac{{{{\left( {\frac{{5n}}{3}} \right)}^2}}}{2}} \right) = \frac{{49}}{{81}}{n^2}h$.

Mà thể tích nước trong khay là $400{\rm{ }}c{m^3}$, nên ta có $\frac{{49}}{{81}}{n^2}h = 400 \Rightarrow {n^2}h = \frac{{32400}}{{49}}$.

Vậy thể tích khay b là:

$V = \frac{1}{3}h\left( {\frac{{{n^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{{n^2}}}{2}.\frac{{{{\left( {2n} \right)}^2}}}{2}} + \frac{{{{\left( {2n} \right)}^2}}}{2}} \right) = \frac{7}{6}{n^2}h = \frac{7}{6}.\frac{{32400}}{{49}} = \frac{{5400}}{7}{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)$.