Bài 4 trang 100 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Biết \(P\left( A \right) = 0...

Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau.

a) Biết $P\left( A \right) = 0,4$ và $P\left( {\overline A B} \right) = 0,3$. Tính xác suất của các biến cố B và $A \cup B$.

b) Biết $P\left( {\overline A B} \right) = 0,4$ và $P\left( {A \cup B} \right) = 0,9$. Tính xác suất của các biến cố A, B, AB.

Sử dụng kiến thức về quy tắc cộng cho hai biến cố bất kì: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$.

a) $P\left( A \right)$ $= 0,4$ $\Rightarrow P\left( {\overline A } \right)$ $= 0,6$

Vì A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên $P\left( {\overline A B} \right)$ $= P\left( {\overline A } \right)P\left( B \right)$ $= 0,3$ $\Rightarrow P\left( B \right)$ $= \frac{{0,3}}{{0,6}}$ $= 0,5$, $P\left( {AB} \right)$ $= P\left( A \right)P\left( B \right)$ $= 0,4.0,5$ $= 0,2$

Do đó, $P\left( {A \cup B} \right)$ $= P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$ $= 0,4 + 0,5 - 0,2$ $= 0,7$

b) Vì A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên $P\left( {\overline A B} \right)$ $= P\left( {\overline A } \right)P\left( B \right)$ $= 0,4$ $\Rightarrow \left[ {1 - P\left( A \right)} \right]P\left( B \right)$ $= 0,4$ $\Rightarrow P\left( B \right) - P\left( A \right)P\left( B \right)$ $= 0,4$

Lại có: $P\left( {A \cup B} \right)$ $= P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$ $= 0,9$ $\Rightarrow P\left( A \right) + 0,4$ $= 0,9$ $\Rightarrow P\left( A \right)$ $= 0,5$

Suy ra: $P\left( {\overline A } \right)$ $= 0,5$ $\Rightarrow P\left( B \right)$ $= \frac{{0,4}}{{P\left( {\overline A } \right)}}$ $= 0,8$, $P\left( {AB} \right)$ $= P\left( A \right).P\left( B \right)$ $= 0,8.0,5$ $= 0,4$