Câu hỏi/bài tập:
Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật có khối lượng m = 100 g, được treo thằng đứng vào một giá cố định. Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo giãn 2,5 cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách vị trí cân bằng O một đoạn 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc \(40\sqrt 3 \)cm/s theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chọn trục tọa độ Ox theo phương thẳng đứng, góc tại O, chiều dương hướng lên trên, gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy g = 10 \(m/{s^2}\). Biết chiều dài tự nhiên của của lò
xo là 50 cm.
a) Tính độ cứng của lò xo, viết phương trình dao động và tính cơ năng
của vật.
b) Xác định li độ và vận tốc của vật khi thế năng bằng \(\frac{1}{3}\) động năng.
c) Tính thế năng, động năng và vận tốc của vật tại vị trí có li độ x= 2 cm.
d) Tính chiều dài, lực đàn hồi cực đại, cực tiều của lò xo trong quá trình
dao động.
Phương trình dao động điều hoà có dạng : \(x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\)
Cơ năng của vật dao động : \(W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\)
Động năng của vật dao động điều hòa : \({W_d} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}\left( {{A^2} - {x^2}} \right) = \frac{1}{2}m{v^2}\).
Thế năng của vật dao động : \(\)\({W_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2}\)
Lực đàn hồi của lò xo : \(F = k.\Delta l\)
Lời giải chi tiết :
a) Tại VTCB ta có : \(mg = k.\Delta l = > k = \frac{{mg}}{{\Delta l}} = \frac{{0,1.10}}{{0,025}} = 40N/m\)
=> \(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = 20rad/s\)
Advertisements (Quảng cáo)
Áp dụng công thức độc lập với thời gian ta được
\({A^2} = {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {2^2} + \frac{{{{40}^2}.3}}{{{{20}^2}}} = 16 = > A = 4cm\)
Do ban đầu kéo vật xuống và truyền cho vật vận tốc hướng xuống nên vật tiếp tục chuyển động đi xuống dưới mà chiều dương của vật hướng lên nên ban đầu vật có li độ \(x = - 2\) và chuyển động theo chiều âm .
\( = > \varphi = 180 - \arccos \frac{2}{4} = 120 = \frac{{2\pi }}{3}\)
Phương trình dao động : \(x = 4\cos (20t + \frac{{2\pi }}{3})(cm/s)\)
Cơ năng của vật dao động : \(W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}.0,{1.20^2}.0,{04^2} = 0,032J\)
b) Ta có \({W_d} = 3{W_t} = > \frac{1}{2}m{\omega ^2}\left( {{A^2} - {x^2}} \right) = 3.\frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} = > {A^2} - {x^2} = 3{x^2} = > 4{x^2} = {A^2} = > x = \pm \frac{A}{2}\) Vận tốc tại thời điểm \({W_d} = 3{W_t}\) là : \({W_d} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}({A^2} - {x^2}) = \frac{1}{2}m{v^2} = > {v^2} = {\omega ^2}\left( {{A^2} - {x^2}} \right)\)
\( = > {v^2} = {20^2}({A^2} - \frac{{{A^2}}}{4}) = {20^2}.\frac{{3{A^2}}}{4} = {20^2}.\frac{{3.0,{{04}^2}}}{4} = 0,48 = > v = 0,69m/s\)
c) Thay x=2 vào ta được \({W_d} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}\left( {{A^2} - {x^2}} \right) = \frac{1}{2}.0,{1.20^2}.(0,{04^2} - 0,{02^2}) = 0,024J\).
\( = > v = 0,69m/s\)
Thế năng của vật dao động \({W_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} = \frac{1}{2}.0,{1.20^2}.0,{02^2} = 0,008J\)
d) Do \(A > \Delta l\)=> Vật có thể dãn có thể nén trong quá trình dao động
=> Lực đàn hồi dãn max khi vật ở vị trí thấp nhất :
\({F_{dh\max }} = k.(\Delta l + A) = 50.(0,025 + 0,04) = 3,25(N)\)
=> Lực đàn hồi nén max khi vật ở vị trí cao nhất :
\({F_{dh\max }} = k.(A - \Delta l) = 50.(0,04 - 0,025) = 0,75(N)\)
=> Lực đàn hồi min khi vật ở vị trí cân bằng => \({F_{dh\min }} = 0\)