Câu hỏi trang 9 Tìm hiểu thêm Chuyên đề học tập Lí 12 - Cánh diều: Dùng công thức lượng giác cos ^2α = 1 + cos 2α /2, chứng minh rằng: \overline cos ^2Ω t = 1/2...

Dùng công thức lượng giác \({\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\), chứng minh rằng: \(\overline {{{\cos }^2}\omega t} = \frac{1}{2}\).

Vận dụng lí thuyết về đặc trưng của dòng điện xoay chiều

Áp dụng công thức lượng giác trên có:

\(\begin{array}{l}\overline {{{\cos }^2}\omega t} = \frac{{\overline {1 + \cos 2\omega t} }}{2} = \frac{1}{T}\int\limits_{{t_1}}^{{t_1} + T} {\frac{{1 + \cos 2\omega t}}{2}dt = \frac{1}{T}\int\limits_{{t_1}}^{{t_1} + T} {\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\cos 2\omega t}}{2}} \right)dt} } \\ = \frac{1}{T}\left( {\frac{1}{2}t + \frac{{\sin 2\omega t}}{4}} \right)_{{t_1}}^{{t_1} + T} = \frac{1}{T}\left( {\left( {\frac{1}{2}({t_1} + T) - \frac{1}{2}{t_1}} \right) + \frac{{\sin 2\omega ({t_1} + T) - \sin 2\omega {t_1}}}{4}} \right)\\ = \frac{1}{T}\left( {\frac{1}{2}T + \frac{{\sin (2\omega {t_1} + 2\omega T) - \sin 2\omega {t_1}}}{4}} \right) = \frac{1}{T}\left( {\frac{1}{2}T + \frac{{\sin 2\omega {t_1}.\cos 2\omega T + \cos 2\omega {t_1}.\sin 2\omega T - \sin 2\omega {t_1}}}{4}} \right)\\ = \frac{1}{T}\left( {\frac{1}{2}T + \frac{{\sin 2\omega {t_1} + 0 - \sin 2\omega {t_1}}}{4}} \right) = \frac{1}{2}\end{array}\)