Bài 45 trang 41 SBT Toán 6 – Cánh Diều Tập 2: So sánh: $A = \frac{{{3^2}}}{{2. 5}} + \frac{{{3^2}}}{{5. 8}} + \frac{{{3^2}}}{{8. 11}}$ và $B = \frac{4}{{5. 7}} + \frac{4}{{7. 9}} + . + \frac{4}{{59. 61}}$...

So sánh:

$A = \frac{{{3^2}}}{{2.5}} + \frac{{{3^2}}}{{5.8}} + \frac{{{3^2}}}{{8.11}}$ và $B = \frac{4}{{5.7}} + \frac{4}{{7.9}} + ... + \frac{4}{{59.61}}$

Tính A và B rồi cùng so sánh với 1, lưu ý: $\frac{3}{{n.(n + 3)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 3}}$ và $\frac{2}{{n.(n + 2)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 2}}$

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \frac{{{3^2}}}{{2.5}} + \frac{{{3^2}}}{{5.8}} + \frac{{{3^2}}}{{8.11}} = 3.\left( {\frac{3}{{2.5}} + \frac{3}{{5.8}} + \frac{3}{{8.11}}} \right) = 3.\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{{11}}} \right)\\ = 3.\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{11}}} \right) = 3.\frac{9}{{22}} = \frac{{27}}{{22}} > 1\end{array}$

$\begin{array}{l}B = \frac{4}{{5.7}} + \frac{4}{{7.9}} + ... + \frac{4}{{59.61}} = 2.\left( {\frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}} + ... + \frac{2}{{59.61}}} \right)\\ = 2.\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{59}} - \frac{1}{{61}}} \right) = 2.\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{61}}} \right) = 2.\frac{{56}}{{305}} = \frac{{112}}{{305}} < 1\end{array}$

Vậy A >1 > B.