Bài 10(2.62). Bài toán cổ.
Bác kia chăn vịt khác thường
Buộc đi cho được chẵn hàng mới ra
Hàng 2 xếp thấy chưa vừa
Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con
Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn
Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy
Xếp thành hàng 7, đẹp thay
Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài.
(Biết số vịt chưa đến 200 con).
Phân tích tính chia hết, chia có dư của số vịt theo từng câu thơ.
Advertisements (Quảng cáo)
Giả sử số vịt là n (con), khi đó n < 200.
Hàng 2 xếp hàng chưa vừa nên n không chia hết cho 2 nên n là số lẻ (1)
Hàng 3 vẫn thừa một con nên n chia 3 dư 1 (2)
Hàng 4 vẫn xếp chưa tròn nên n không chia hết cho 4 (3)
Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy nên \(\left( {n + 1} \right) \vdots 5\) (4)
Xếp thành hàng 7 đẹp thay nên \(n \vdots 7\) (5)
Từ (4) ta có \(n + + 21 = \left( {n + 1} \right) + 20 \vdots 5\).
Từ (5) ta có \(n + 21 \vdots 7\). Do ƯCLN(5,7)=1 nên \(n + 21 \vdots BCNN\left( {5,7} \right)\) tức là \(n + 21 \vdots 35\).
Vì n < 200 nên n+21< 221, do đó \(n + 21 \in \left\{ {35;70;105;140;175;210} \right\}\)
Suy ra \(n \in \left\{ {14;49;84;119;154;189} \right\}\).
Từ (1) n là số lẻ nên \(n \in \left\{ {49;119;189} \right\}\)
Từ (2) ta suy ra n = 49.
Thử lại ta thấy đàn vịt có 49 con.