Bài 12 trang 94 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp S. ABC có \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {90^0}...

Cho hình chóp S.ABC có $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {90^0}.$Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng $SH \bot \left( {ABC} \right).$

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Gọi AN, CM là hai đường cao của tam giác ABC.

Gọi H là giao điểm của AN và CM.

Theo giả thiết, $SA \bot SB,{\rm{ }}SA \bot SC$ mà $SB \cap SC = S$ nên $SA \bot \left( {SBC} \right)$ mà $BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow SA \bot BC.$

Ngoài ra, $AH \bot BC$ và SA, AH cắt nhau trong mặt phẳng (SAH) nên $BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH.$

Tương tự, ta có: $AB \bot SH.$

Bên cạnh đó, AB, BC cắt nhau trong mặt phẳng (ABC) nên $SH \bot \left( {ABC} \right).$