Bài 14 trang 95 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi, $AA’ \bot \left( {ABCD} \right).$Chứng minh rằng...

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi, $AA’ \bot \left( {ABCD} \right).$Chứng minh rằng:

a) $BB’ \bot \left( {A’B’C’D’} \right);$

b) $BD \bot A’C.$

Sử dụng định lý ba đường vuông góc.

a) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên $AA'{\rm{ // }}BB’.$ Mà $AA’ \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $BB’ \bot \left( {ABCD} \right).$ Mặt khác $\left( {ABCD} \right){\rm{ // }}\left( {A’B’C’D’} \right) \Rightarrow BB’ \bot \left( {A’B’C’D’} \right).$

b) Vì ABCD là hình thoi nên $AC \bot BD.$ Do $AA’ \bot \left( {ABCD} \right)$ nên AC là hình chiếu của $A’C$ trên mặt phẳng (ABCD). Theo định lý ba đường vuông góc suy ra $BD \bot A’C.$