Cho hình tứ diện ABCD có AB⊥(BCD),các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD. Chứng minh rằng:
a) AD⊥CH;
b*) HK⊥(ACD).
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
a) Vì AB⊥(BCD),CH⊂(BCD)⇒AB⊥CH. Do H là trực tâm của tam giác (BCD) nên CH⊥BD.
Advertisements (Quảng cáo)
Mà AB, BD cắt nhau trong mặt phẳng (ABD) nên CH⊥(ABD).
Từ CH⊥(ABD),AD⊂(ABD)⇒AD⊥CH.
b*) Vì H là trực tâm của tam giác BCD nên BH⊥CD.
Lại có, AB⊥(BCD),CD⊂(BCD)⇒AB⊥CD.
Mà AB, BD cắt nhau trong mặt phẳng (ABI) nên CD⊥(ABI).
Từ CD⊥(ABI),HK⊂(ABI)⇒CD⊥HK.
Vì K là trực tâm của tam giác ACD nên CK⊥AD. Mà CK, CH cắt nhau trong mặt phẳng (CHK) nên AD⊥(CHK).
Lại có, AD⊥(CHK),HK⊂(CHK)⇒AD⊥HK.
Bên cạnh đó, AD, CD cắt nhau trong mặt phẳng (ACD) nên HK⊥(ACD).