Bài 20 trang 95 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp S. ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right).$ Gọi M, N...

Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right).$ Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác SAB, SBC, SCA. Chứng minh rằng $SA \bot \left( {MNP} \right).$

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Gọi H, K, I lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.

Theo giả thiết ta có: $\frac{{SM}}{{SH}} = \frac{{SN}}{{SK}} = \frac{{SP}}{{SI}} = \frac{2}{3}.$

Theo định lý Ta-lét: Trong tam giác SHK có $MN{\rm{ // }}HK,$ trong tam giác SHI có $MP{\rm{ // }}HI.$ Mà $HK \subset \left( {ABC} \right),{\rm{ }}HI \subset \left( {ABC} \right)$ nên $MN{\rm{ // }}\left( {ABC} \right),{\rm{ }}MP{\rm{ // }}\left( {ABC} \right).$Mà, MN, MP cắt nhau trong mặt phẳng (MNP) nên $\left( {MNP} \right){\rm{ // }}\left( {ABC} \right).$

Ta lại có, $SA \bot \left( {ABC} \right).$ Vậy $SA \bot \left( {MNP} \right).$