Bài 39 trang 104 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình lăng trụ $ABC. A’B’C’$ có $AA’ \bot \left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ cân tại $A$...

Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có $AA’ \bot \left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $\left( {MAA’} \right) \bot \left( {BCC’B’} \right)$.

Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên $AM \bot BC$.

Do $AA’ \bot \left( {ABC} \right)$, ta suy ra $BB’ \bot \left( {ABC} \right)$. Điều này dẫn tới $BB’ \bot AM$.

Như vậy, do $AM \bot BC$, $BB’ \bot AM$, ta suy ra $AM \bot \left( {BCC’B’} \right)$.

Mà $AM \subset \left( {MAA’} \right)$, nên $\left( {MAA’} \right) \bot \left( {BCC’B’} \right)$.

Bài toán được chứng minh.