Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có ABCDABCD là hình vuông, tam giác SABSAB vuông tại SS và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD)(ABCD). Chứng minh rằng:
a) (SAD)⊥(SAB)(SAD)⊥(SAB).
b) (SBC)⊥(SAB)(SBC)⊥(SAB).
c) (SAD)⊥(SBC)(SAD)⊥(SBC).
Gọi HH là hình chiếu của SS trên ABAB. Ta chứng minh được SH⊥(ABCD)SH⊥(ABCD).
Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.
a) Gọi HH là hình chiếu của SS trên ABAB. Ta có (SAB)⊥(ABCD)(SAB)⊥(ABCD), SH⊥ABSH⊥AB, AB=(SAB)∩(ABCD)AB=(SAB)∩(ABCD) nên suy ra SH⊥(ABCD)SH⊥(ABCD). Điều này dẫn tới SH⊥ADSH⊥AD. Do ABCDABCD là hình vuông nên AB⊥ADAB⊥AD.
Advertisements (Quảng cáo)
Như vậy ta có SH⊥ADSH⊥AD, AB⊥ADAB⊥AD nên suy ra (SAB)⊥AD(SAB)⊥AD.
Do AD⊂(SAD)AD⊂(SAD) nên ta suy ra (SAB)⊥(SAD)(SAB)⊥(SAD).
Ta có điều phải chứng minh.
b) Theo câu a, ta có SH⊥(ABCD)SH⊥(ABCD). Điều này dẫn tới SH⊥BCSH⊥BC. Do ABCDABCD là hình vuông nên AB⊥BCAB⊥BC.
Như vậy ta có SH⊥BCSH⊥BC, AB⊥BCAB⊥BC nên suy ra (SAB)⊥BC(SAB)⊥BC.
Do BC⊂(SBC)BC⊂(SBC) nên ta suy ra (SAB)⊥(SBC)(SAB)⊥(SBC).
Ta có điều phải chứng minh.
c) Theo câu a, ta có (SAB)⊥AD(SAB)⊥AD nên AD⊥SBAD⊥SB. Do tam giác SABSAB vuông tại SS, ta suy ra SA⊥SBSA⊥SB.
Như vậy ta có AD⊥SBAD⊥SB, SA⊥SBSA⊥SB nên (SAD)⊥SB(SAD)⊥SB.
Do SB⊂(SBC)SB⊂(SBC) nên ta suy ra (SAD)⊥(SBC)(SAD)⊥(SBC)