Bài 42 trang 104 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp $S. ABC$ có $\widehat {ASB} = \widehat {ASC} = {90^o}$...

Cho hình chóp $S.ABC$ có $\widehat {ASB} = \widehat {ASC} = {90^o}$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $\left( {SAH} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

Do $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $AH \bot BC$.

Do $\widehat {ASB} = \widehat {ASC} = {90^o}$ nên ta suy ra $SA \bot SB$ và $SA \bot SC$. Suy ra $SA \bot \left( {BSC} \right)$, từ đó $SA \bot BC$.

Như vậy, vì $AH \bot BC$, $SA \bot BC$ nên $\left( {SAH} \right) \bot BC$.

Mà $BC \subset \left( {ABC} \right)$, nên $\left( {SAH} \right) \bot \left( {ABC} \right)$. Bài toán được chứng minh.