Bài 47 trang 110 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp $S. ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, $AB \bot BC$, $SA = AB = 3a$...

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, $AB \bot BC$, $SA = AB = 3a$, $BC = 4a$. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

b) Giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

c) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

d) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

e*) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

a) Chỉ ra rằng $B$ là hình chiếu của $C$ trên $\left( {SAB} \right)$, từ đó tính được khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

b) Chỉ ra rằng $AB$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $SA$ và $BC$, từ đó tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

c) Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $A$ trên $SB$. Ta chứng minh $H$ cũng là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$, từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng $AH$.

d) Gọi $M$ là hình chiếu của điểm $B$ trên $AC$. Ta chứng minh $M$ cũng là hình chiếu của điểm $B$ trên mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng $BM$.

e) Lấy điểm $D \in \left( {ABC} \right)$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $N$ là hình chiếu của $A$ trên $SD$. Ta chứng minh $AN \bot \left( {SCD} \right)$. Do $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel \left( {SCD} \right)$. Mà $SC \in \left( {SCD} \right)$ nên khoảng cách giữa $AB$ và $SC$ chính là khoảng cách giữa $AB$ và $\left( {SCD} \right)$

a) Do $SA \bot \left( {ABC} \right)$, ta có $SA \bot BC$. Mà $AB \bot BC$ nên $\left( {SAB} \right) \bot BC$. Do đó, $B$ là hình chiếu của $C$ trên $\left( {SAB} \right)$, tức là khoảng cách từ $C$ đến $\left( {SAB} \right)$ là đoạn thẳng $BC$. Do $BC = 4a$, nên khoảng cách từ $C$ đến $\left( {SAB} \right)$ là $4a$.

b) Do $SA \bot \left( {ABC} \right)$, ta có $SA \bot AB$. Mà $AB \bot BC$ nên $AB$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $SA$ và $BC$. Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là đoạn thẳng $AB$. Do $AB = 3a$, nên khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là $3a$.

c) Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $A$ trên $SB$. Theo câu a, ta có $\left( {SAB} \right) \bot BC$ nên $AH \bot BC$. Vì $AH \bot BC$, $AH \bot SB$, ta có $AH \bot \left( {SBC} \right)$. Vậy $H$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$, điều này có nghĩa khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là đoạn thẳng $AH$.

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$, $SA = AB = 3a$ nên ta suy ra $AH = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.

d) Gọi $M$ là hình chiếu của điểm $B$ trên $AC$. Do $SA \bot \left( {ABC} \right)$, ta suy ra $SA \bot BM$. Vì $SA \bot BM$, $AC \bot BM$ nên $\left( {SAC} \right) \bot BM$. Vậy $M$ là hình chiếu của điểm $B$ trên mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, điều này có nghĩa khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ là đoạn thẳng $BM$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, đường cao $BM$, nên ta có $\frac{1}{{B{M^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}$.

Suy ra $BM = \frac{{BA.BC}}{{\sqrt {B{A^2} + B{C^2}} }} = \frac{{3a.4a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} }} = \frac{{12a}}{5}$.

e) Lấy điểm $D \in \left( {ABC} \right)$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành. Do $\widehat {ABC} = {90^o}$ nên $ABCD$ là hình chữ nhật. Suy ra $CD \bot AD$. Do $SA \bot \left( {ABC} \right)$, ta có $SA \bot CD$. Do đó $CD \bot \left( {SAD} \right)$.

Gọi $N$ là hình chiếu của điểm $A$ trên $SD$. Do $CD \bot \left( {SAD} \right)$ nên $CD \bot AN$.

Như vậy ta có $CD \bot AN$, $AN \bot SD$ nên $AN \bot \left( {SCD} \right)$. Do $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel \left( {SCD} \right)$. Mà $SC \in \left( {SCD} \right)$ nên khoảng cách giữa $AB$ và $SC$ chính là khoảng cách giữa $AB$ và $\left( {SCD} \right)$, và nó cũng chính bằng khoảng cách từ điểm $A$ đến $\left( {SCD} \right)$, và bằng $AN$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$, ta có

$AN = \frac{{SA.AD}}{{SD}} = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{3a.4a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} }} = \frac{{12a}}{5}$