Bài 53 trang 117 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy là hình bình hành...

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Trên cạnh $SA$ lấy điểm $M$ sao cho $MA = 2MS$. Mặt phẳng $\left( {CDM} \right)$ cắt $SB$ tại $N$. Tỉ số $\frac{{SN}}{{SB}}$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

Chứng minh rằng $MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {CDM} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$, từ đó suy ra $MN\parallel AB$ và tính tỉ số $\frac{{SN}}{{SB}}$.

Ta thấy rằng $M \in \left( {CDM} \right) \cap \left( {SAB} \right)$ và $N$ là giao điểm của $\left( {CDM} \right)$ và $SB$. Do $SB \subset \left( {SAB} \right)$ nên $N$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {CDM} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$. Từ đó ta suy ra $MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {CDM} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$.

Nhận xét rằng $AB\parallel CD$, $AB \subset \left( {SAB} \right)$, $CD \subset \left( {CDM} \right)$, $MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {CDM} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$, ta suy ra $MN\parallel AB$.

Theo định lý Thales, ta có $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}}$. Do $MA = 2MS \Rightarrow \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3}$.

Như vậy $\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{3}$. Đáp án đúng là B.