Bài 1 trang 121 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi ${G_1}$ và ${G_2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD...

Cho tứ diện ABCD. Gọi ${G_1}$ và ${G_2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD. Chứng minh ${G_1}{G_2}$ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác DBC. Suy ra MN//BC (1)

Vì ${G_1}$ là trọng tâm của tam giác ADB nên $\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

Vì ${G_2}$ là trọng tâm của tam giác ADC nên $\frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}$.

Tam giác AMN có: $\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_2}}}{{AN}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)$ nên ${G_1}{G_2}//MN$ (2) (định lý Thalès đảo)

Từ (1) và (2) ta có: ${G_1}{G_2}//MN//BC$.

Vì ${G_1}{G_2}//BC$, ${G_1}{G_2}$ không nằm trong mặt phẳng (ABC), $BC \subset \left( {ABC} \right)$ nên ${G_1}{G_2}$//(ABC)

Vì ${G_1}{G_2}//BC$, ${G_1}{G_2}$ không nằm trong mặt phẳng (DBC), $BC \subset \left( {DBC} \right)$ nên ${G_1}{G_2}$//(DBC).