Bài 1 trang 161 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Một công ty bảo hiểm thống kê lại độ tuổi các khách hàng mua bảo hiểm xe ô tô ở...

Một công ty bảo hiểm thống kê lại độ tuổi các khách hàng mua bảo hiểm xe ô tô ở bảng sau:

Hãy ước lượng số trung bình, mốt và các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

+ Sử dụng kiến thức về số trung bình của mẫu số liệu để tính:

Giả sử mẫu số được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline x$, được tính như sau: $\overline x = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}}}{n}$, trong đó $n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$.

+ Sử dụng kiến thức về mốt của mẫu số liệu để tính: Giả sử nhóm chứa mốt là $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$, khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${M_O}$ được xác định bởi công thức: ${M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$

+ Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Gọi n là cỡ mẫu.

Giả sử nhóm $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$ chứa trung vị, ${n_m}$ là tần số của nhóm chứa trung vị,

$C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}$.

Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là: ${M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$.

+ Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_2}$, cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_1}$, ta làm như sau:

Giả sử nhóm $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$ chứa tứ phân vị thứ nhất, ${n_m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, $C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}$

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: ${Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$

Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_3}$, ta làm như sau:

Giả sử nhóm $\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)$ chứa tứ phân vị thứ ba, ${n_j}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba, $C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}$

Khi đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: ${Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)$

Bảng tần số ghép nhóm gồm các giá trị đại diện của nhóm là:

Cỡ mẫu $n = 233$

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline x = \frac{{27,5.25 + 32,5.38 + 37,5.62 + 42,5.42 + 47,5.37 + 52,5.29}}{{233}} \approx 39,97$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là $\left[ {35;40} \right)$.

Do đó, ${u_m} = 35,{n_{m - 1}} = 38,{n_m} = 62,{n_{m + 1}} = 42,{u_{m + 1}} - {u_m} = 40 - 35 = 5$

Mốt của mẫu số liệu là: ${M_O} = 35 + \frac{{62 - 38}}{{\left( {62 - 38} \right) + \left( {62 - 42} \right)}}.5 = \frac{{415}}{{11}}$

Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{233}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1},...,{x_{25}} \in \left[ {25;30} \right),{x_{26}},...,{x_{63}} \in \left[ {30;35} \right),{x_{64}},...,{x_{125}} \in \left[ {35;40} \right),{x_{126}},...,{x_{167}} \in \left[ {40;45} \right),$

${x_{168}},...,{x_{204}} \in \left[ {45;50} \right),{x_{205}},...,{x_{233}} \in \left[ {50;55} \right)$

Do cỡ mẫu $n = 233$ nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là ${x_{117}}$. Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {35;40} \right)$.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_2} = 35 + \frac{{\frac{{233}}{2} - \left( {25 + 38} \right)}}{{62}}.\left( {40 - 35} \right) = \frac{{4\;875}}{{124}}$

Do cỡ mẫu $n = 233$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{58}} + {x_{59}}} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {30;35} \right)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{233}}{4} - 25}}{{38}}.\left( {35 - 30} \right) = \frac{{275}}{8}$

Do cỡ mẫu $n = 233$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{175}} + {x_{176}}} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {45;50} \right)$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 45 + \frac{{\frac{{3.233}}{4} - \left( {25 + 38 + 62 + 42} \right)}}{{37}}.\left( {50 - 45} \right) = \frac{{6\;815}}{{148}}$