Bài 2 trang 161 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cô giáo dự định trao danh hiệu “Gia đình xanh” cho 25% gia đình các bạn sử dụng ít túi nhựa nhất...

Các bạn học sinh một lớp thống kê số túi nhựa mà gia đình bạn đó sử dụng trong một tuần. Kết quả được tổng hợp lại ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu trên.

b) Cô giáo dự định trao danh hiệu “Gia đình xanh” cho 25% gia đình các bạn sử dụng ít túi nhựa nhất. Cô nên trao danh hiệu cho các gia đình dùng không quá bao nhiêu túi nhựa?

a) + Sử dụng kiến thức về số trung bình của mẫu số liệu để tính:

Giả sử mẫu số được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline x$, được tính như sau: $\overline x = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}}}{n}$, trong đó $n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$.

+ Sử dụng kiến thức về mốt của mẫu số liệu để tính: Giả sử nhóm chứa mốt là $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$, khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${M_O}$ được xác định bởi công thức: ${M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$

b) Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_1}$, ta làm như sau:

Giả sử nhóm $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$ chứa tứ phân vị thứ nhất, ${n_m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, $C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}$.

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: ${Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$.

a) Ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu bao gồm giá trị đại diện:

Cỡ mẫu $n = 44$

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\overline x = \frac{{7.8 + 12.15 + 17.12 + 22.7 + 27.2}}{{44}} = \frac{{162}}{{11}}$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là $\left[ {9,5;14,5} \right)$.

Do đó, ${u_m} = 9,5,{u_{m + 1}} = 14,5,{n_m} = 15,{n_{m + 1}} = 12,{n_{m - 1}} = 8,{u_{m + 1}} - {u_m} = 14,5 - 9,5 = 5$

Mốt của mẫu số liệu là: ${M_O} = 9,5 + \frac{{15 - 8}}{{\left( {15 - 8} \right) + \left( {15 - 12} \right)}}.5 = 13$

b) Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{44}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1},...,{x_8} \in \left[ {4,5;9,5} \right),{x_9},...,{x_{23}} \in \left[ {9,5;14,5} \right),{x_{24}},...,{x_{35}} \in \left[ {14,5;19,5} \right),$ ${x_{36}},...,{x_{42}} \in \left[ {19,5;24,5} \right),{x_{43}},{x_{44}} \in \left[ {24,5;29,5} \right)$

Do cỡ mẫu $n = 44$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{11}} + {x_{12}}} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {9,5;14,5} \right)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = 9,5 + \frac{{\frac{{44}}{4} - \left( {8 + 0} \right)}}{{15}}.\left( {14,5 - 9,5} \right) = 10,5$

Vậy giáo viên nên trao danh hiệu cho các gia đình không dùng quá 10 túi nhựa.