Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh:
a) (BDA’)//(B’D’C).
b) Đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G và G’ của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c) G và G’ chia AC’ thành ba phần bằng nhau.
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
a) Ta có: DD’//BB’ và \(DD’ = BB’\) (do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp), suy ra DD’B’B là hình bình hành, suy ra BD//B’D’, mà \(B’D’ \subset \left( {B’D’C} \right)\), BD không nằm trong mặt phẳng (B’D’C) nên BD//(B’D’C).
Chứng minh tương tự ta có: DA’//(B’D’C)
Mà BD và DA’ cắt nhau tại D và nằm trong mặt phẳng (BDA’) nên (BDA’)//(B’D’C).
b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai đáy ABCD và A’B’C’D’.
Trong hình bình hành AA’C’C gọi I là giao điểm của AC’ và A’C, AC’ cắt A’O tại \({G_1}\)
Trong tam giác AA’C, ta có \({G_1}\) là giao điểm của hai trung tuyến AI và A’O nên \({G_1}\) là trọng tâm của tam giác AA’C. Suy ra \(A'{G_1} = \frac{2}{3}A’O\)
Mà G là trọng tâm của tam giác A’BD nên \(A’G = \frac{2}{3}A’O\)
Do đó, \(G \equiv {G_1}\) hay G là giao điểm của AC’ và A’O.
Chứng minh tương tự ta có trọng tâm G’ của tam giác B’D’C là giao điểm của AC’ và CO’.
Vậy AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c) Ta có: \(AG = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC’ = \frac{1}{3}AC’,C’G’ = \frac{2}{3}C’I = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC’ = \frac{1}{3}AC’\)
Do đó \(GG’ = AC’ - AG - C’G’ = AC’ - \frac{1}{3}AC’ - \frac{1}{3}AC’ = \frac{1}{3}AC’\)
Do đó, \(AG = GG’ = G’C’\). Vậy G và G’ chia AC’ thành ba phần bằng nhau.