Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp.
Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).
Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm của AD, SD, SB.
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, MN//BD.
Vì P, R lần lượt là trung điểm của SD, SB nên PR là đường trung bình của tam giác SBD. Do đó, PR//BD.
Vì MN//BD, PR//BD nên MN//PR.
Suy ra bốn điểm M, N, P, R tạo thành mặt phẳng (MNPR).
Ta có: MN//BD, \(MN \subset \left( {MNPR} \right)\), BD không nằm trong mặt phẳng (MNPR) nên BD//(MNPR).
Chứng minh tương tự ta có: SA//(MNPR).
Vì mặt phẳng (MNPR) đi qua M và song song với BD, SA nên (MNPR) là mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Trong mặt phẳng (SAB), vẽ đường thẳng d đi qua S và d//AB//CD.
Khi đó, giả sử MR cắt d tại I, PI cắt SC tại Q. Suy ra, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là (MNPI).
Ta có: \(MN \subset \left( {ABCD} \right),MN \subset \left( {MNPI} \right)\) nên \(\left( {MNPI} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\) hay \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\).
Tương tự ta có:
\(\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP,\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ,\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = QR,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABS} \right) = MR\)