Một hộp chứa 3 quả bóng xanh và một số quả bóng đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Biết rằng xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” gấp 5 lần xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng xanh”. Tính xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng có cùng màu”.
Sử dụng kiến thức về quy tắc cộng hai biến cố xung khắc: Cho hai biến cố xung khắc A và B. Khi đó, \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Gọi số quả bóng đỏ là n (quả, n là số tự nhiên). Số bóng có trong hộp là: \(n + 3\) (quả)
Không gian mẫu: “Lấy ra ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp”
Số phần tử của không gian mẫu là: \(C_{n + 3}^2\)
Số kết quả thuận lợi của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” là: \(C_n^2\)
Xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” là: \(\frac{{C_n^2}}{{C_{n + 3}^2}}\)
Số kết quả thuận lợi của biến cố “Lấy được 2 quả bóng xanh” là: \(C_3^2\)
Xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng xanh” là: \(\frac{{C_3^2}}{{C_{n + 3}^2}}\)
Vì xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” gấp 5 lần xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng xanh” nên ta có:
\(\frac{{C_n^2}}{{C_{n + 3}^2}} = 5\frac{{C_3^2}}{{C_{n + 3}^2}} \) \( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 5.3 \) \( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 30 \) \( \Leftrightarrow {n^2} - n - 30 = 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\left( {TM} \right)\\n = - 5\left( L \right)\end{array} \right.\)
Do đó, xác xuất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng có cùng màu” là:
\(\frac{{C_6^2}}{{C_9^2}} + \frac{{C_3^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{2}\)