Bài 8 trang 100 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Một hộp chứa 3 quả bóng xanh và một số quả bóng đỏ có cùng kích thước và khối lượng...

Một hộp chứa 3 quả bóng xanh và một số quả bóng đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Biết rằng xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” gấp 5 lần xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng xanh”. Tính xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng có cùng màu”.

Sử dụng kiến thức về quy tắc cộng hai biến cố xung khắc: Cho hai biến cố xung khắc A và B. Khi đó, $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.

Gọi số quả bóng đỏ là n (quả, n là số tự nhiên). Số bóng có trong hộp là: $n + 3$ (quả)

Không gian mẫu: “Lấy ra ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp”

Số phần tử của không gian mẫu là: $C_{n + 3}^2$

Số kết quả thuận lợi của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” là: $C_n^2$

Xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” là: $\frac{{C_n^2}}{{C_{n + 3}^2}}$

Số kết quả thuận lợi của biến cố “Lấy được 2 quả bóng xanh” là: $C_3^2$

Xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng xanh” là: $\frac{{C_3^2}}{{C_{n + 3}^2}}$

Vì xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” gấp 5 lần xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng xanh” nên ta có:

$\frac{{C_n^2}}{{C_{n + 3}^2}} = 5\frac{{C_3^2}}{{C_{n + 3}^2}}$ $\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 5.3$ $\Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 30$ $\Leftrightarrow {n^2} - n - 30 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\left( {TM} \right)\\n = - 5\left( L \right)\end{array} \right.$

Do đó, xác xuất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng có cùng màu” là:

$\frac{{C_6^2}}{{C_9^2}} + \frac{{C_3^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{2}$