Bài tập 3.11 trang 104 Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá: Áp dụng các công thức sau: Khoảng biến thiên là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và...

Một trang trại phân 1000 quả trứng thành 5 loại, tuỳ theo khối lượng (đã được làm tròn) của chúng (Bảng 3.26).

a) Ước tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của khối lượng những quả trứng này (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

b) Hãy phân tích sự đồng đều về khối lượng các quả trứng của trang trại.

a) Áp dụng các công thức sau:

- Khoảng biến thiên là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong tập dữ liệu.

- Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa ${Q_3}$ và ${Q_1}$, ký hiệu là:${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$ với công thức tính tứ phân vị là:

${Q_x} = L + \left( {\frac{{{n_x} - F}}{f}} \right) \times h$

- Công thức tính trung bình là:

$\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{n_i}} \right)} }}{N}$

- Công thức tính phương sai:

${S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}({c_i}} - \overline x {)^2}$

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

$S = \sqrt {{S^2}}$

b)

Khoảng biến thiên (R): Nếu khoảng biến thiên nhỏ, điều đó cho thấy sự khác biệt về khối lượng giữa quả trứng lớn nhất và nhỏ nhất là nhỏ, tức là các quả trứng có khối lượng khá đồng đều.

Khoảng tứ phân vị (${\Delta _Q}$): ${\Delta _Q}$ nhỏ cho thấy 50% giữa của các quả trứng có khối lượng gần nhau, điều này cũng chỉ ra sự đồng đều về khối lượng.

Phương sai và độ lệch chuẩn: Phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ cho thấy các giá trị khối lượng của quả trứng không phân tán nhiều so với giá trị trung bình, nghĩa là khối lượng các quả trứng khá đồng đều.

Khoảng biến thiên là chênh lệch giữa giá trị khối lượng lớn nhất và nhỏ nhất:

R = Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất = 60 – 30 = 30

Tính tứ phân vị

- $\frac{N}{4} = 250$ rơi vào nhóm [42; 48)

${Q_1} = 42 + \left( {\frac{{250 - 235}}{{500}}} \right) \times 6$

${Q_1} = 42 + \left( {\frac{{15}}{{500}}} \right) \times 6 = 42 + 0,18 = 42,18{\mkern 1mu} {\rm{g}}$

- $\frac{{3N}}{4} = 750$ rơi vào nhóm [48; 54)

${Q_3} = 48 + \left( {\frac{{750 - 735}}{{250}}} \right) \times 6$

${Q_3} = 48 + \left( {\frac{{15}}{{250}}} \right) \times 6 = 48 + 0,36 = 48,36{\mkern 1mu} {\rm{g}}$

Khoảng tứ phân vị:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 48,36 - 42,18 = 6,18{\mkern 1mu} {\rm{g}}$

Giá trị trung bình:

$\overline x = \frac{{(33 \times 45) + (39 \times 190) + (45 \times 500) + (51 \times 250) + (57 \times 15)}}{{1000}}$

$\overline x = \frac{{1485 + 7410 + 22500 + 12750 + 855}}{{1000}} = \frac{{45000}}{{1000}} = 45{\mkern 1mu} {\rm{g}}$

Phương sai:

${S^2} = \frac{{45 \times {{(33 - 45)}^2} + 190 \times {{(39 - 45)}^2} + 500 \times {{(45 - 45)}^2} + 250 \times {{(51 - 45)}^2} + 15 \times {{(57 - 45)}^2}}}{{1000}}$

${S^2} = \frac{{45 \times 144 + 190 \times 36 + 500 \times 0 + 250 \times 36 + 15 \times 144}}{{1000}}$

${S^2} = \frac{{6480 + 6840 + 0 + 9000 + 2160}}{{1000}} = \frac{{24,480}}{{1000}} = 24,48{\mkern 1mu} {{\rm{g}}^2}$

Độ lệch chuẩn của khối lượng những quả trứng này:

$S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {24,48} \approx 4,95g$

b)

Khoảng biến thiên: 30g cho thấy sự khác biệt lớn giữa quả trứng nhẹ nhất và nặng nhất, nhưng điều này không phản ánh toàn bộ sự đồng đều của dữ liệu.

Khoảng tứ phân vị: 6.18g, cho thấy rằng 50% quả trứng giữa có khối lượng rất gần nhau, trong khoảng từ 42.18g đến 48.36g. Điều này cho thấy sự phân tán không quá lớn trong số lượng lớn các quả trứng.

Phương sai và độ lệch chuẩn: Với phương sai là 24,48g và độ lệch chuẩn là 4,95g, có thể thấy rằng có một số sự phân tán trong khối lượng trứng, nhưng không quá lớn, cho thấy khối lượng các quả trứng trong trang trại là khá đồng đều.