Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N.
Chứng minh DM + BN = MN.
Chứng minh: MD = MP; ∆ADM = ∆APM (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MD = MP (hai cạnh tương ứng).
Ta có MP + PN = MN mà MD = MP
Do đó DM + BN = MN.
Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat D = {90^o}\)
Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N nên \(\widehat {APM} = {90^o}\)
Do đó \(\widehat D = \widehat {APM} = {90^o}\)
Xét ∆ADM và ∆APM có:
\(\widehat D = \widehat {APM} = {90^o}\) (chứng minh trên)
Cạnh AM chung
\(\widehat {MA{\rm{D}}} = \widehat {MAP}\)(vì AM là tia phân giác của \(\widehat {DAP}\)).
Do đó ∆ADM = ∆APM (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MD = MP (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự ta có BN = PN.
Ta có MP + PN = MN mà MD = MP; BN = PN (chứng minh trên)
Do đó DM + BN = MN.