Bài 83 trang 99 SBT toán 10 Cánh diều: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−1 ; −2...

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−1 ; −2), đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình là 5x + y – 9 = 0 và x + 3y − 5 = 0. Tìm toạ độ của hai điểm B và C.

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng AB (có VTPT là VTCP của CH)

Bước 2: Giải hệ 2 PT BM và AB để tìm tọa độ điểm B

Bước 3: Tham số hóa điểm M theo PT BM và biểu diễn tọa độ C theo tham số đó

Bước 4: Thay tọa độ tham số của điểm C vào PT CH rồi tìm tọa độ điểm C

Gọi BM là đường trung tuyến kẻ từ B $\Rightarrow BM$ có PT: 5x + y – 9 = 0

Gọi CH là đường cao kẻ từ C $\Rightarrow CH$ có PT: x + 3y − 5 = 0

CH có VTPT $\overrightarrow {{n_1}}  = (1;3)$ $\Rightarrow CH$ có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = (3; - 1)$

Ta có: $CH \bot AB$ $\Rightarrow AB$ đi qua A(−1 ; −2) và nhận $\overrightarrow {{u_1}}  = (3; - 1)$ làm VTPT nên có PT:

3x – y + 1 = 0

Do B là giao điểm của BM và AB nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT:

$\left\{ \begin{array}{l}5x + y - 9 = 0\\3x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow B(1;4)$

Do $M \in BM$ nên $M(t;9 - 5t)$

Theo giả thiết, M là trung điểm AC $\Rightarrow C(2t + 1; - 10t + 20)$

Do $C \in CH$ nên $2t + 1 + 3( - 10t + 20) - 5 = 0 \Leftrightarrow  - 28t + 56 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ $\Leftrightarrow C(5;0)$

Vậy $B(1;4)$ và $C(5;0)$