Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:
a) →EA+→EB+→EC+→ED=4→EG−−→EA+−−→EB+−−→EC+−−→ED=4−−→EG
b) →EA=4→EG−−→EA=4−−→EG
c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và →AG=34→AE−−→AG=34−−→AE
+) M là trung điểm của AB thì →MA+→MB=→0−−→MA+−−→MB=→0 và →GA+→GB=2→GM−−→GA+−−→GB=2−−→GM với mọi G.
+) E là trọng tâm tam giác BCD thì →EB+→EC+→ED=→0−−→EB+−−→EC+−−→ED=→0
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có: →EA+→EB+→EC+→ED−−→EA+−−→EB+−−→EC+−−→ED=4→EG+→GA+→GB+→GC+→GD=4−−→EG+−−→GA+−−→GB+−−→GC+−−→GD
Mà: →GA+→GB=2→GM;−−→GA+−−→GB=2−−→GM; (do M là trung điểm của AB)
→GC+→GD=2→GN−−→GC+−−→GD=2−−→GN (do N là trung điểm của CD)
⇒→EA+→EB+→EC+→ED=4→EG+2(→GM+→GN)=4→EG⇒−−→EA+−−→EB+−−→EC+−−→ED=4−−→EG+2(−−→GM+−−→GN)=4−−→EG (do G là trung điểm của MN)
b) Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên →EB+→EC+→ED=→0−−→EB+−−→EC+−−→ED=→0
Từ ý a ta suy ra →EA=4→EG−−→EA=4−−→EG
c) Ta có: →EA=4→EG⇔→EA=4.(→EA+→AG)⇔−3→EA=4→AG−−→EA=4−−→EG⇔−−→EA=4.(−−→EA+−−→AG)⇔−3−−→EA=4−−→AG
⇔3→AE=4→AG⇔3−−→AE=4−−→AG hay →AG=34→AE−−→AG=34−−→AE
Suy ra A, G, E thẳng hàng và AG=34AEAG=34AE nên G thuộc đoạn AE.