Bài 5 trang 92 Toán 10 tập 1 – Cánh diều: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trun...

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = 4\overrightarrow {EG}$

b) $\overrightarrow {EA}  = 4\overrightarrow {EG}$

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow {AG}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE}$

+) M là trung điểm của AB thì $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  = 2\overrightarrow {GM}$ với mọi G.

+) E là trọng tâm tam giác BCD thì $\overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = \overrightarrow 0$

a) Ta có: $\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}$$= 4\overrightarrow {EG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}$

Mà: $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  = 2\overrightarrow {GM} ;$ (do M là trung điểm của AB)

$\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\overrightarrow {GN}$ (do N là trung điểm của CD)

$\Rightarrow \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = 4\overrightarrow {EG}  + 2(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} ) = 4\overrightarrow {EG}$ (do G là trung điểm của MN)

b) Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = \overrightarrow 0$

Từ ý a ta suy ra $\overrightarrow {EA}  = 4\overrightarrow {EG}$

c) Ta có: $\overrightarrow {EA}  = 4\overrightarrow {EG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {EA}  = 4.(\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AG} ) \Leftrightarrow  - 3\overrightarrow {EA}  = 4\overrightarrow {AG}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {AE}  = 4\overrightarrow {AG}$ hay $\overrightarrow {AG}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE}$

Suy ra A, G, E thẳng hàng và $AG  = \frac{3}{4}AE$ nên G thuộc đoạn AE.