Bài 2 trang 158 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Người ta thống kê tốc độ của một số xe ô tô di chuyển qua một trạm kiểm soát trên...

Người ta thống kê tốc độ của một số xe ô tô di chuyển qua một trạm kiểm soát trên đường cao tốc trong một khoảng thời gian ở bảng sau:

Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

+ Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Gọi n là cỡ mẫu

Giả sử nhóm $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$ chứa trung vị, ${n_m}$ là tần số của nhóm chứa trung vị,

$C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}$

Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là: ${M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$

+ Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_2}$, cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_1}$, ta làm như sau:

Giả sử nhóm $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$ chứa tứ phân vị thứ nhất, ${n_m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, $C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}$

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: ${Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$

Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_3}$, ta làm như sau:

Giả sử nhóm $\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)$ chứa tứ phân vị thứ ba, ${n_j}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba, $C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}$

Khi đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: ${Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)$

Cỡ mẫu $n = 78$

Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{78}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1},...,{x_5} \in \left[ {75;80} \right),{x_6},...,{x_{17}} \in \left[ {80;85} \right),{x_{18}},...,{x_{35}} \in \left[ {85;90} \right),{x_{36}},...,{x_{59}} \in \left[ {90;95} \right),$

${x_{60}},...,{x_{78}} \in \left[ {95;100} \right)$.

Do cỡ mẫu $n = 78$ nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{39}} + {x_{40}}} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {90;95} \right)$.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_2} = 90 + \frac{{\frac{{78}}{2} - \left( {5 + 12 + 18} \right)}}{{24}}.\left( {95 - 90} \right) = \frac{{545}}{6}$

Do cỡ mẫu $n = 78$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${x_{20}}$. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {85;90} \right)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = 85 + \frac{{\frac{{78}}{4} - \left( {5 + 12} \right)}}{{18}}.\left( {90 - 85} \right) = \frac{{3085}}{{36}}$

Do cỡ mẫu $n = 78$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${x_{59}}$. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {90;95} \right)$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 90 + \frac{{\frac{{3.78}}{4} - \left( {5 + 12 + 18} \right)}}{{24}}.\left( {95 - 90} \right) = \frac{{4\;555}}{{48}}$