Chứng minh các định lí sau:
a) Nếu hai mặt phẳng (phân biệt) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó;
b) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt còn lại.
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
a)
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right)\). Ta cần chứng minh \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) hoặc \(d \bot \left( R \right)\) với \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
Vì \(\left( P \right) \bot \left( R \right)\) nên tồn tại đường thẳng \(a \subset \left( P \right)\) sao cho \(a \bot \left( R \right)\), \(\left( Q \right) \bot \left( R \right)\) nên tồn tại đường thẳng \(b \subset \left( Q \right)\) sao cho \(b \bot \left( R \right)\)
\( \Rightarrow a\parallel b\)
Vậy \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) hoặc nếu \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cắt nhau theo giao tuyến \(d\) thì \(d\parallel a \Rightarrow d \bot \left( R \right)\).
b)
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) song song với nhau và đường thẳng \(a\) vuông góc với \(\left( P \right)\). Ta cần chứng minh \(a \bot \left( Q \right)\).
Trên \(\left( P \right)\) lấy hai đường thẳng \(b,c\) cắt nhau, trên \(\left( Q \right)\) lấy hai đường thẳng \(b’,c’\) sao cho \(b’\parallel b,c’\parallel c\).
Vì \(b,c\) cắt nhau nên \(b’,c’\) cắt nhau.
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a \bot \left( P \right) \Rightarrow a \bot b,a \bot c\\b\parallel b’,c\parallel c’\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b’,a \bot c’\\ \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\end{array}\)