Bài 6 trang 94 Toán 11 tập 2 - Cánh diều: Cho hình chóp $S. ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$...

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $\left[ {A,BC,S} \right]$. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác $ABC$ và $SBC$ bằng $\cos \alpha$.

‒ Cách xác định góc nhị diện $\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]$

Bước 1: Xác định $c = \left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{Q_1}} \right)$.

Bước 2: Tìm mặt phẳng $\left( R \right) \supset c$.

Bước 3: Tìm $p = \left( R \right) \cap \left( {{P_1}} \right),q = \left( R \right) \cap \left( {{Q_1}} \right),O = p \cap q,M \in p,N \in q$.

Khi đó $\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right] = \widehat {MON}$.

Kẻ $AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)$

$SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$

$\Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH$

Vậy $\widehat {SHA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {A,BC,S} \right]$

$\Rightarrow \widehat {SHA} = \alpha$

$\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH,{S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}BC.SH\\ \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}BC.AH}}{{\frac{1}{2}BC.SH}} = \frac{{AH}}{{SH}} = \cos \widehat {SHA} = \cos \alpha \end{array}$