Bài 7 trang 80 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Cho một tam giác đều ABC cạnh $a$...

Cho một tam giác đều ABC cạnh $a$. Tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác ${A_2}{B_2}{C_2}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}, \ldots$, tam giác ${A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}, \ldots$ Gọi ${p_1},{p_2}, \ldots ,{p_n}, \ldots$ và ${S_1},{S_2}, \ldots ,{S_n}, \ldots$ theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2}, \ldots ,{A_n}{B_n}{C_n}, \ldots$.

a) Tìm giới hạn của các dãy số $\left( {{p_n}} \right)$ và $\left( {{S_n}} \right)$.

b) Tìm các tổng ${p_1} + {p_2} + \ldots + {p_n} + \ldots$ và ${S_1} + {S_2} + \ldots + {S_n} + \ldots$.

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$.

Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh.

Diện tích tam giác bằng một nửa chiều cao nhân cạnh đáy tương ứng.

+) $\left( {{{\rm{p}}_{\rm{n}}}} \right)$ là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ${\rm{ABC}},{{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}{{\rm{C}}_1}, \ldots$

Ta có:

${{\rm{p}}_2} = {p_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot (3a) = \frac{1}{2} \cdot {p_1}$

$\begin{array}{l}{{\rm{p}}_3} = {p_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot (3a) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot {p_1}\\ \ldots \\{p_{\Delta {A_n}{B_n}{C_n}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \cdot {p_1}\\...\end{array}$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {p_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}} \cdot (3a)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (3a) = 0.3a = 0.$

+)$\left( {{{\rm{S}}_n}} \right)$ là dãy số diện tích của các tam giác theo thứ tự ${\rm{ABC}},{{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}{{\rm{C}}_1}, \ldots$

Gọi $h$ là chiều cao của tam giác ${\rm{ABC}}$ và ${\rm{h}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{{\rm{S}}_3} = {S_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{h}{4} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} \cdot \left( {\frac{1}{2}ah} \right) = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} \cdot {S_1}\\ \ldots \\{S_{\Delta {A_n}{B_n}{C_n}}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} \cdot {S_1}\\ \ldots \end{array}$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{n - 1}} \cdot {S_1}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{2}ah} \right) = 0 \cdot \frac{1}{2}ah = 0$.

b) +) Ta có $\left( {{{\rm{p}}_{\rm{n}}}} \right)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${{\rm{p}}_1}$ = 3a và công bội ${\rm{q}} = \frac{1}{2}$ thỏa mãn $|q| < 1$ có tổng:

${p_1} + {p_2} + \ldots + {p_n} + \ldots = \frac{{3a}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 6a$

+) Ta có $\left( {{{\rm{S}}_n}} \right)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${{\rm{S}}_1} = \frac{1}{2}ah$ và công bội $q = \frac{1}{4}$ thỏa mãn $|q| < 1$ có tổng:

${S_1} + {S_2} + \ldots + {S_n} + \ldots = \frac{{\frac{1}{2}ah}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{2}{3}ah = \frac{2}{3}a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}$