Bài 5 trang 79 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại $x = 2$ ?...

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + a}&{{\rm{ }}x < 2}\\4&{{\rm{ }}x = 2}\\{ - 3x + b}&{{\rm{ }}\,x > 2}\end{array}} \right.$

a) Với $a = 0,b = 1$, xét tính liên tục của hàm số tại $x = 2$.

b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại $x = 2$ ?

c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

- Các hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$

Với a = 0, b = 1, hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x}&{{\rm{ }}x < 2}\\4&{{\rm{ }}x = 2}\\{ - 3x + 1}&{{\rm{ }}\,x > 2}\end{array}} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 1} \right) = - 3.2 + 1 = - 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x} \right) = 2.2 = 4\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\end{array}$

Do đó không tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$

Vậy hàm số không liên tục tại x = 2.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + b} \right) = - 3.2 + b = - 6 + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x + a} \right) = 2.2 + a = 4 + a\\f\left( 2 \right) = 4\end{array}$

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$

$\Leftrightarrow - 6 + b = 4 + a = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + a = 4\\ - 6 + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 10\end{array} \right.$

Vậy với a = 0 và b = 10 thì hàm số liên tục tại x = 2.

c) Tập xác định của hàm số là: ℝ.

Với x < 2 thì $f\left( x \right) = 2x + a$ là hàm đa thức nên liên tục.

Với x > 2 thì $f\left( x \right) = -3x + b$ là hàm đa thức nên liên tục.

Do đó để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 2.

Vậy với a = 0 và b = 10 thỏa mãn điều kiện.