Bài 3 trang 109 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Nhiệt độ không khí trung bình hằng năm tại hai trạm quan trắc đặt ở Quy Nhơn và Cà Mau...

Nhiệt độ không khí trung bình hằng năm tại hai trạm quan trắc đặt ở Quy Nhơn và Cà Mau từ năm 2006 đến năm 2022 được ghi lại như sau:

a) Hãy chia dữ liệu trên thành 4 nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là $\left[ {26,7;27,1} \right)$.

b) Hãy so sánh độ phân tán nhiệt độ không khí trung bình mỗi năm tại hai khu vực trên:

‒ theo khoảng biến thiên;

– theo khoảng tứ phân vị;

– theo phương sai.

‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R = {a_{m + 1}} - {a_1}$.

‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Tứ phân vị thứ $k$ được xác định như sau: ${Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$

trong đó:

• $n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$ là cỡ mẫu;

• $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $k$;

• ${n_m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ $k$;

• $C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}$.

‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1}$.

‒ Sử dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

$\begin{array}{l}{S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{c_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\\ & = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + ... + {n_k}c_k^2} \right] - {\overline x ^2}\end{array}$

a) Bảng tần số ghép nhóm

b) • Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn là: ${R_{QN}} = 28,3 - 26,7 = 1,6\left( {^ \circ C} \right)$.

Khoảng biển thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Cà Mau là: ${R_{CM}} = 28,3 - 27,1 = 1,2\left( {^ \circ C} \right)$.

Do đó, nếu so sánh theo khoảng biến thiên, nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn phân tán hơn tại Cà Mau.

• Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn:

Cỡ mẫu: ${n_{QN}} = 3 + 9 + 4 + 1 = 17$

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{17}}$ là mẫu số liệu gốc gồm nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_5} \in \left[ {27,1;27,5} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_{QN1}} = 27,1 + \frac{{\frac{{1.17}}{4} - 3}}{9}\left( {27,5 - 27,1} \right) = \frac{{1222}}{{45}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{13}} \in \left[ {27,5;27,9} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_{QN3}} = 27,5 + \frac{{\frac{{3.17}}{4} - \left( {3 + 9} \right)}}{4}\left( {27,9 - 27,5} \right) = \frac{{1103}}{{40}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\Delta {Q_{QN}} = {Q_{QN3}} - {Q_{QN1}} = \frac{{1103}}{{40}} - \frac{{1222}}{{45}} \approx 0,42$ (g).

Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Cà Mau:

Cỡ mẫu: ${n_{CM}} = 17$

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{17}}$ là mẫu số liệu gốc gồm nhiệt độ không khí trung bình tại Cà Mau theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_5} \in \left[ {27,5;27,9} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_{CM1}} = 27,5 + \frac{{\frac{{1.17}}{4} - 1}}{{10}}\left( {27,9 - 27,5} \right) = \frac{{2763}}{{100}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{13}} \in \left[ {27,9;28,3} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_{QN3}} = 27,9 + \frac{{\frac{{3.17}}{4} - \left( {1 + 10} \right)}}{6}\left( {28,3 - 27,9} \right) = \frac{{1681}}{{60}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\Delta {Q_{CM}} = {Q_{CM3}} - {Q_{CM1}} = \frac{{1681}}{{60}} - \frac{{2763}}{{100}} \approx 0,39\left( {^ \circ C} \right)$.

Do đó, nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị, nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn phân tán hơn tại Cà Mau.

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline {{x_{QN}}} = \frac{{3.26,9 + 9.27,3 + 4.27,7 + 1.28,1}}{{17}} = \frac{{4653}}{{170}}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

$S_{QN}^2 = \frac{1}{{17}}\left( {{{3.26,9}^2} + {{9.27,3}^2} + {{4.27,7}^2} + {{1.28,1}^2}} \right) - {\left( {\frac{{4653}}{{170}}} \right)^2} \approx 0,099$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Cà Mau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline {{x_{CM}}} = \frac{{1.27,3 + 10.27,7 + 6.28,1}}{{17}} = \frac{{4729}}{{170}}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

$S_{CM}^2 = \frac{1}{{17}}\left( {{{1.27,3}^2} + {{10.27,7}^2} + {{6.28,1}^2}} \right) - {\left( {\frac{{4729}}{{170}}} \right)^2} \approx 0,052$

Do $S_{QN}^2 > S_{CM}^2$ nên khi so sánh theo phương sai, nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn phân tán hơn tại Cà Mau.