Giải Bài 43 trang 18 SBT Toán 6 - Cánh diều: Rút gọn mỗi biểu thức sau...

Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) A = 1+3+3² +3³ +…+3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ ;

b) B = 2¹⁰⁰ – 2⁹⁹ + 2⁹⁸ – 2⁹⁷ +…- 2³ +2² – 2 +1.

Phát hiện quy luật

Để tính tổng 1+a+a² +a³ +…+a^k + a^k+1 với a,k là số tự nhiên, ta nhân biểu thức với a

a) A = 1+3+3² +3³ +…+3⁹⁹ + 3¹⁰⁰

3. A = 3.( 1+3+3² +3³ +…+3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ )

= 3+3² +3³ +…+3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹

Ta có: 3.A – A = 3+3² +3³ +…+3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹ – (1+3+3² +3³ +…+3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

2.A = 3¹⁰¹ + (3¹⁰⁰ - 3¹⁰⁰ ) +....+ (3 - 3) - 1

2.A = 3¹⁰¹ – 1

A = (3¹⁰¹ – 1) : 2

b) B = 2¹⁰⁰ – 2⁹⁹ + 2⁹⁸ – 2⁹⁷ +…- 2³ +2² – 2 +1

2. B = 2. (2¹⁰⁰ – 2⁹⁹ + 2⁹⁸ – 2⁹⁷ +…- 2³ +2² – 2 +1)

2.B = 2¹⁰¹ – 2¹⁰⁰ + 2⁹⁹ – 2⁹⁸ +…- 2⁴+2³ – 2² +2

2.B + B = 2¹⁰¹ – 2¹⁰⁰ + 2⁹⁹ – 2⁹⁸ +…- 2⁴+2³ – 2² +2 + (2¹⁰⁰ – 2⁹⁹ + 2⁹⁸ – 2⁹⁷ +…- 2³ +2² – 2 +1)

3.B = 2¹⁰¹ + (2¹⁰⁰ - 2¹⁰⁰ ) + ...+(2 - 2) + 1

Nên 3. B = 2¹⁰¹ +1

Vậy B = (2¹⁰¹ +1) : 3