Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Chứng minh:
a) OC vuông góc với FH;
b) Tam giác OAI là tam giác cân;
c) Tam giác BAI là tam giác cân.
- Chứng minh: CO là đường trung trực của đoạn thẳng FH nên OC vuông góc với FH.
- Chứng minh: ∆OHA = ∆OFI suy ra OA = OI nên tam giác OAI cân tại O.
- Chứng minh: AB = BI nên tam giác BAI cân tại B.
a) Xét DOHC và DOFC có:
\(\widehat {OHC} = \widehat {OFC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OC là cạnh chung,
\(\widehat {OCH} = \widehat {OCF}\) (do CO là tia phân giác của góc ACB)
Do đó ∆OHC = ∆OFC (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra CH = CF, OH = OF (các cặp cạnh tương ứng).
Do đó C và O cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng FH.
Hay CO là đường trung trực của đoạn thẳng FH.
Do đó OC ⊥ FH.
Vậy OC ⊥ FH.
b) Xét ∆OHA và ∆OFI có:
\(\widehat {OHA} = \widehat {OFI}\left( { = 90^\circ } \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
OH = OF (chứng minh câu a),
AH = IF (giả thiết),
Do đó ∆OHA = ∆OFI (hai cạnh góc vuông)
Suy ra OA = OI (hai cạnh tương ứng)
Tam giác OAI có OA = OI nên ∆OAI cân tại O.
Vậy tam giác OAI là tam giác cân tại O.
c) • Kẻ OK ⊥ AB (K ∈ AB).
Xét ∆AOH và ∆AOK có
\(\widehat {OHA} = \widehat {OK{\rm{A}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OA là cạnh chung,
\(\widehat {HAO} = \widehat {KAO}\) (do AO là tia phân giác của góc BAC)
Do đó ∆AOH = ∆AOK (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AH = AK (hai cạnh tương ứng).
•Xét tam giác ABC có O là giao điểm của hai tia phân giác của góc ACB và BAC.
Suy ra BO là tia phân giác của góc ABC.
Xét ∆BOK và ∆BOF có
\(\widehat {OKB} = \widehat {OFB}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OB là cạnh chung,
\(\widehat {KBO} = \widehat {FBO}\) (do BO là tia phân giác của góc ABC)
Do đó ∆BOK = ∆BOF (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra BK = BF (hai cạnh tương ứng)
•Ta có AB = AK + KB, BI = BF + FI
Mà BK = BF, AK = IF (=AH)
Từ đó suy ra AB = BI nên tam giác BAI cân tại B.
Vậy tam giác BAI cân tại B.