Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
a) Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)
b) Tia ED cắt AB tại F. Chứng minh AC = AF.
c) Gọi G là trung điểm của DF; AD cắt CF tại H và cắt CG tại I. Chứng minh DI = 2IH.
- Chứng minh: ∆ABD = ∆AED (c.g.c) suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\).
- Chứng minh: ∆ABC = ∆AEF (g.c.g) suy ra AC = AF.
- Chứng minh I là trọng tâm của tam giác DFC nên suy ra DI = 2IH.
a) Xét DABD và DEAD có:
AB = AE (giả thiết),
\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC)
AD là cạnh chung
Suy ra ∆ABD = ∆AED (c.g.c)
Do đó \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\) (hai góc tương ứng)
Vậy \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Xét ∆ABC và ∆AEF có:
\(\widehat {FAC}\) là góc chung,
AB = AE (giả thiết),
\(\widehat {ABC} = \widehat {AEF}\) (Do \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\))
Suy ra ∆ABC = ∆AEF (g.c.g)
Do đó AC = AF (hai cạnh tương ứng)
Vậy AC = AF.
c) Xét ∆AHF và ∆AHC có:
AH là cạnh chung,
\(\widehat {FAH} = \widehat {CAH}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC),
AF = AC (chứng minh câu b)
Do đó ∆AHF = ∆AHC (c.g.c)
Suy ra HF = HC (hai cạnh tương ứng).
Khi đó H là trung điểm của FC nên DH là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D của tam giác DFC.
Xét tam giác DFC có CG và DH là hai đường trung tuyến, CG và DH cắt nhau tại I
Suy ra I là trọng tâm của tam giác DFC.
Do đó IH = \(\frac{1}{2}\)ID (tính chất trọng tâm của tam giác)
Hay DI = 2IH.
Vậy DI = 2IH.