Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh ∆ADB = ∆AEC.
b) Chứng minh tam giác HDE là tam giác cân.
c) So sánh HB và HD.
d) Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của HB, I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng.
- Chứng minh: ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).
- Chứng minh: HE = HD nên tam giác HDE cân tại H.
- Chứng minh: HC > HD và HB = HC nên HB > HD.
- Chứng minh: HP ⊥ BC hay HI ⊥ BC và AH ⊥ BC suy ra ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC tại P
a) Xét ∆ABD và ∆ACE có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),
\(\hat A\) là góc chung,
Suy ra ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).
Vậy ∆ADB = ∆AEC.
b) Vì ∆ADB = ∆AEC (chứng minh câu a)
Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (hai góc tương ứng).
Ta có AB = AE + EB, AC = AD + DC.
Mà AB = AC, AE = AD.
Suy ra BE = CD.
Xét ∆EHB và ∆DHC có:
\(\widehat {HEB} = \widehat {H{\rm{D}}C}\left( { = 90^\circ } \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
BE = CD (chứng minh trên),
\(\widehat {EBH} = \widehat {DCH}\) (do \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\))
Suy ra ∆EHB = ∆DHC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Do đó HE = HD, BH = CH (các cặp cạnh tương ứng).
Tam giác HDE có HE = HD nên tam giác HDE cân tại H.
Vậy tam giác HDE là tam giác cân tại H.
c) Trong tam giác vuông HDC có HC > HD (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
Mà HC = HB (chứng minh câu b)
Do đó HB > HD.
Vậy HB > HD.
d) • Gọi P là giao điểm của HI và BC.
Tam giác HBC có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I.
Do đó I là trọng tâm của tam giác HBC nên HP là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh H của tam giác.
Từ đó ta có PB = PC.
Xét ∆HBP và ∆HCP có:
HB = HC (chứng minh ở câu b),
HP là cạnh chung,
PB = PC (chứng minh trên)
Do đó ∆HBP = ∆HCP (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {HPB} = \widehat {HPC}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {HPB} + \widehat {HPC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Do đó \(\widehat {HPB} = \widehat {HPC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)
Từ đó ta có HP ⊥ BC hay HI ⊥ BC (1)
• Tam giác ABC có H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó AH ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC tại P
Hay ba điểm A, H, I thẳng hàng.
Vậy ba điểm A, H, I thẳng hàng.