Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:
a) AE.AB=AF.AC
b) ΔADE∽ΔAHC và ΔANF∽ΔAMB (ΔANF∽ΔAMB không chứng minh được vì đề bài không cho vị trí của điểm N).
a) Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
b) + Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh) để chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên ^AHB=^AHC=900
Vì HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC nên HE⊥AB,HF⊥AC
Do đó, ^HEB=^HEA=^HFA=^HFC=900
Tam giác HEA và tam giác BHA có:
Advertisements (Quảng cáo)
^HEA=^AHB=900,^BAHchung
Do đó, ΔHEA∽ΔBHA(g−g)
Suy ra: AEAH=AHAB nên AE.AB=AH2(1)
Tam giác HFA và tam giác CHA có:
^HFA=^AHC=900,^CAHchung
Do đó, ΔHFA∽ΔCHA(g−g)
Suy ra: AFAH=AHAC nên AF.AC=AH2(2)
Từ (1) và (2) ta có: AE.AB=AF.AC
b) Vì AE.AB=AF.AC nên AEAC=AFAB
Tam giác AEF và tam giác ACB có: AEAC=AFAB,^BACchung
Do đó, ΔAEF∽ΔACB(c−g−c), suy ra, ^AEF=ˆC
Tam giác AED và tam giác ACH có:
^ADE=^AHC=900,^AEF=ˆC(cmt)
Do đó, ΔADE∽ΔAHC(g−g)