Giải các phương trình:
a. \(\frac{1}{x} = \frac{5}{{3\left( {x + 2} \right)}}\);
b. \(\frac{x}{{2x - 1}} = \frac{{x - 2}}{{2x + 5}}\);
c. \(\frac{{5x}}{{x - 2}} = 7 + \frac{{10}}{{x - 2}}\);
d. \(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\).
+ Tìm điều kiện xác định.
+ Tìm mẫu chung, quy đồng mẫu, khử mẫu.
+ Giải phương trình.
+ Đối chiếu với điều kiện xác định.
+ Kết luận nghiệm.
a. \(\frac{1}{x} = \frac{5}{{3\left( {x + 2} \right)}}\)
Điều kiện xác định: \(x \ne 0\) và \(x \ne - 2\).
\(\frac{1}{x} = \frac{5}{{3\left( {x + 2} \right)}}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{5x}{{3x\left( {x + 2} \right)}}\\3\left( {x + 2} \right) = 5x\\3x +6 = 5x\\3x - 5x = -6\\-2x = -6\end{array}\)
\(x = 3\) .
Ta thấy \(x = 3\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \frac{1}{3}\).
b. \(\frac{x}{{2x - 1}} = \frac{{x - 2}}{{2x + 5}}\)
Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{1}{2}\) và \(x \ne - \frac{5}{2}\).
\(\frac{x}{{2x - 1}} = \frac{{x - 2}}{{2x + 5}}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{x\left( {2x + 5} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right)}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right)}}\\x\left( {2x + 5} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\\2{x^2} + 5x = 2{x^2} - x - 4x + 2\\2{x^2} + 5x - 2{x^2} + x + 4x - 2 = 0\\10x - 2 = 0\end{array}\)
\(x = \frac{1}{5}\).
Ta thấy \(x = \frac{1}{5}\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Vậy \(x = \frac{1}{5}\) là nghiệm của phương trình đã cho.
c. \(\frac{{5x}}{{x - 2}} = 7 + \frac{{10}}{{x - 2}}\)
Điều kiện xác định: \(x \ne 2\).
\(\frac{{5x}}{{x - 2}} = 7 + \frac{{10}}{{x - 2}}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x - 2}} = \frac{{7\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} + \frac{{10}}{{x - 2}}\\5x = 7x - 14 + 10\\5x - 7x + 14 - 10 = 0\\-2x + 4 = 0\end{array}\)
\(x = 2\).
Ta thấy \(x = 2\) không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Vậy phương trình vô nghiệm.
d. \(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\)
Điều kiện xác định: \(x \ne 0\).
\(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{2\left( {{x^2} - 6} \right)}}{{2x}} = \frac{{2{x^2}}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}}\\2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2{x^2} + 3x\\2{x^2} - 12 = 2{x^2} + 3x\\2{x^2} - 12 - 2{x^2} - 3x = 0\\ - 3x - 12 = 0\end{array}\)
\(x = - 4\).
Ta thấy \(x = - 4\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Vậy \(x = - 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.