Bài tập 11 trang 128 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Tứ giác ABCD có hai góc đối diện B và D vuông, hai góc kia không vuông...

Tứ giác ABCD có hai góc đối diện B và D vuông, hai góc kia không vuông.

a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Ta gọi đó là đường tròn (C).

b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD của tứ giác. Chứng minh rằng $IK \bot BD$.

c) Kí hiệu các tiếp tuyến của đường tròn (C) tại A, B và C lần lượt là a, b và c. Giả sử b cắt a và c theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng tứ giác AEFC là một hình thang.

d) Chứng minh rằng $EF = AE + CF$.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại B, tam giác ADC vuông tại D nên đường tròn đường kính AC đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b) + Chứng minh I là tâm đường tròn đường kính AC.

+ Chứng minh tam giác IBD cân tại I nên IK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

c) Chứng minh $FC \bot AC$, $AE \bot AC$ nên FC//AE. Do đó, tứ giác AEFC là hình thang.

d) Chứng minh $FC = FB$, $EA = EB$ nên $EF = AE + CF$.

a) $\Delta$ABC có $\widehat {ABC} = {90^o}$ nên $\Delta$ABC vuông tại B. Do đó, B thuộc đường tròn đường kính AC.

$\Delta$ADC có $\widehat {ADC} = {90^o}$ nên $\Delta$ADC vuông tại D. Do đó, D thuộc đường tròn đường kính AC.

Vậy đường tròn đường kính AC đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b) Vì I là trung điểm của AC nên đường tròn tâm I, đường kính AC đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Do đó, $IB = ID$ nên $\Delta$IBD cân tại I. Suy ra, IK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra, $IK \bot BD$.

c) Vì FC là tiếp tuyến của (I, IC) nên $FC \bot AC$. Vì AE là tiếp tuyến của (I, IC) nên $AE \bot AC$.

Vì $FC \bot AC$, $AE \bot AC$ nên FC//AE. Do đó, tứ giác AEFC là hình thang.

d) Vì FB và FC là hai tiếp tuyến của (I, IC) nên $FC = FB$.

Vì EA và EB là hai tiếp tuyến của (I, IC) nên $EA = EB$.

Do đó, $AE + CF = EB + FB = EF$