Tìm các giá trị của tham số m để:
a) f(x)=(m−3)x2+2mx−m là một tam thức bậc hai âm với mọi x∈R
b) f(x)=(m−2)x2+2(m+3)x+5(m−3) là một tam thức bậc hai có nghiệm
c) Phương trình 2x2+(3m−1)x+2(m+1)=0 vô nghiệm
d) Bất phương trình 2x2+2(m−3)x+3(m2−3)≥0 có tập nghiệm là R
a) f(x)<0 với mọi x∈R ⇔{a<0Δ<0
b, c, d)
Bước 1: Tính Δ=b2−4ac hoặc \Delta ‘ = b{‘^2} - ac với b = 2b’
Bước 2: Xét dấu của delta
+) \Delta > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
+) \Delta = 0 phương trình có 1 nghiệm duy nhất
+) \Delta < 0 phương tình vô nghiệm
Advertisements (Quảng cáo)
a) f\left( x \right) = \left( {m - 3} \right){x^2} + 2mx - m là một tam thức bậc hai âm với mọi x \in \mathbb{R} khi và chỉ khi \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m\left( {m - 3} \right) < 0\\m - 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 3m < 0\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < \frac{3}{2}\\m < 3\end{array} \right.
\Leftrightarrow 0 < m < \frac{3}{2}
Vậy khi m \in \left( {0;\frac{3}{2}} \right) thì f\left( x \right) = \left( {m - 3} \right){x^2} + 2mx - m là một tam thức bậc hai âm với mọi x \in \mathbb{R}
b) f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m - 3} \right) là một tam thức bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ \ge 0\\a \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 3} \right)^2} - 5\left( {m - 2} \right)\left( {m - 3} \right) \ge 0\\m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{m^2} + 31m - 21 \ge 0\\m \ne 2\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{4} \le m \le 7\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\frac{3}{4};7} \right]\backslash \left\{ 2 \right\}
Vậy khi m \in \left[ {\frac{3}{4};7} \right]\backslash \left\{ 2 \right\} thì f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m - 3} \right) là một tam thức bậc hai có nghiệm
c) Phương trình 2{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi \Delta < 0
hay {\left( {3m - 1} \right)^2} - 4.2.2\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 22m - 15 < 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{9} < x < 3
Vậy khi m \in \left( { - \frac{5}{9};3} \right) thì phương trình 2{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0 vô nghiệm
d) Bất phương trình 2{x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 3\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0 có a = 2 > 0 nên để bất phương trình có tập nghiệm trên \mathbb{R} khi và chỉ khi \Delta ‘ < 0
hay {\left( {m - 3} \right)^2} - 2.3\left( {{m^2} - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow - 5{m^2} - 6m + 27 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 3\\m > \frac{9}{5}\end{array} \right.
Vậy khi m \in ( - \infty ; - 3) \cup \left( {\frac{9}{5}; + \infty } \right) thì bất phương trình 2{x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 3\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0 có tập nghiệm trên \mathbb{R}