Bài 3 trang 77 Toán 10 tập 1 – Cánh diều: a) Độ dài các cạnh AC, BC...

Cho tam giác ABC có $AB = 100,\widehat B = {100^o},\widehat C = {45^o}.$ Tính:

a) Độ dài các cạnh AC, BC

b) Diện tích tam giác ABC.

a)

Bước 1: Tính $\widehat A$.

Bước 2: Tính AC, BC bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}$

b)

Tính diện tích tam giác ABC bằng một trong 4 công thức sau:

+) $S = \frac{1}{2}.bc.\sin A = \frac{1}{2}.ac.\sin B = \frac{1}{2}.ab.\sin C$

+) $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$

a)

Ta có: $\widehat A = {180^o} - (\widehat B + \widehat C)$ $\Rightarrow \widehat A = {180^o} - ({100^o} + {45^o}) = {35^o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}}\\BC = \sin A.\frac{{AB}}{{\sin C}}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sin {100^o}.\frac{{100}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 139,3\\BC = \sin {35^o}.\frac{{100}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 81,1\end{array} \right.$

b)

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2}.BC.AC.\sin C = \frac{1}{2}.81,1.139,3.\sin {45^o} \approx 3994,2.$