Bài 4 trang 66 Toán 10 tập 2 – Cánh diều: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2;3), B(-1; 1), C(3;- 1)....

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2;3), B(-1; 1), C(3;- 1).

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho$\overrightarrow {AM{\rm{ }}}  = {\rm{ }}\overrightarrow {BC}$ .

b) Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh$\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow {NM}$ .

Với $\overrightarrow a  = \left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)$ , ta có: $\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.$

a) Gọi $M\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {a - 2;b - 3} \right)$

Tọa độ vecto $\overrightarrow {BC}  = \left( {4; - 2} \right)$

Để $\overrightarrow {AM{\rm{ }}}  = {\rm{ }}\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 4\\b - 3 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 1\end{array} \right.$

Vậy để $\overrightarrow {AM{\rm{ }}}  = {\rm{ }}\overrightarrow {BC}$ thì tọa độ điểm M là:$M\left( {6;1} \right)$

b) Gọi $N\left( {x,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {NC}  = \left( {3 - x, - 1 - y} \right)$và $\overrightarrow {AN}  = \left( {x - 2,y - 3} \right)$

Do N là trung điểm AC nên $\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {NC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3 - x\\y - 3 =  - 1 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = 1\end{array} \right.$ . Vậy $N\left( {\frac{5}{2},1} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = \left( {  \frac{7}{2};0} \right)$ và $\overrightarrow {NM}  = \left( {\frac{{ 7}}{2};0} \right)$. Vậy $\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow {NM}$