Em hãy tìm hiểu chiều cao của tất cả các bạn trong tổ và lập mẫu số liệu với kết quả tăng dần. Với mẫu số liệu đó, hãy tìm:
a) Số trung bình cộng, trung vị và tứ phân vị;
b) Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị;
c) Phương sai và độ lệch chuẩn.
a) Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: \({X_1},{X_2},...,{X_n}\)
Bước 2: Số trung bình cộng : \(\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}\)
Bước 3: Trung vị \({Q_2} = {M_e} = \left\{ \begin{array}{l}{X_{k + 1}}\quad \quad \quad \quad \quad (n = 2k + 1)\\\frac{1}{2}({X_k} + {X_{k + 1}})\quad \;\,(n = 2k)\end{array} \right.\)
\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái \({Q_2}\) (không bao gồm \({Q_2}\) nếu n lẻ)
\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải \({Q_2}\) (không bao gồm \({Q_2}\) nếu n lẻ)
b) Khoảng biến thiên: \(R = {X_n} - {X_1}\)
Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\)
c) Tính phương sai \({s^2} = \frac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]\)
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Ví dụ, ta có bảng đo chiều cao của các bạn trong tổ như sau:
|
160 |
162 |
Advertisements (Quảng cáo) 164 |
165 |
172 |
174 |
177 |
178 |
180 |
a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
160 162 164 165 172 174 177 178 180
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
\(\overline x = \frac{{160\;\; + 162\;\; + 164\;\;\; + \;\;165\;\; + \;172\;\; + \;174\;\; + \;177\; + \;\;178\; + \;180}}{9} = \frac{{1532}}{9}\)
Trung vị của mẫu số liệu trên là: Do mẫu số liệu trên có 9 số liệu ( lẻ ) nên trung vị \({Q_2} = 172\)
Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:
- Trung vị của dãy 160 162 164 165 là: \({Q_1} = 163\)
- Trung vị của dãy 174 177 178 180 là: \({Q_3} = 177,5\)
- Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({Q_1} = 163\), \({Q_2} = 172\), \({Q_3} = 177,5\)
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: \(R = {x_{\max }} - {x_{\min }} = 180 - 160 = 20\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 177,5 - 163 = 14,5\)
c) Phương sai của mẫu số liệu trên là:
\({s^2} = \frac{{\left[ {{{\left( {160 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {162 - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {180 - \overline x } \right)}^2}} \right]}}{9} \approx 50,84\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 7,13\)