Bài 6.9 trang 16 Toán 10 – Kết nối tri thức: Xác định parabol (y = {rm{a}}{{rm{x}}^2} + bx + 1) , trong mỗi trường hợp sau:...

Xác định parabol $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + 1$ , trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua 2 điểm A(1; 0) và B(2; 4)

b) Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng $x = 1$

c) Có đỉnh I(1; 2)

d) Đi qua điểm C(-1; 1) và có tung độ đỉnh -0,25

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$có:

- đỉnh là điểm $I\left( {\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)$

- Trục đối xứng là đường thẳng $x = \frac{{ - b}}{{2a}}$

a) Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + 1$ đi qua điểm A(1; 0) nên:

$a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b =  - 1$

Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + 1$ đi qua điểm B(2; 4) nên:

$a{.2^2} + 2b + 1 = 4 \Leftrightarrow 4a + 2b = 3$

Từ 2 phương trình trên, ta có $a = \frac{5}{2};b = \frac{{ - 7}}{2}$

=> Hàm số cần tìm là $y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1$

b) Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + 1$ đi qua điểm A(1; 0) nên:

$a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b =  - 1$

Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + 1$ có trục đối xứng x=1

$\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0$

Từ 2 phương trình trên, ta có $a = 1;b =  - 2$

=> Hàm số cần tìm là $y = {x^2} - 2x + 1$

c) Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + 1$ có đỉnh $I(1;2)$ nên:

$\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0$

$a{.1^2} + b.1 + 1 = 2 \Leftrightarrow a + b = 1$

Từ 2 phương trình trên, ta có $a =  - 1;b = 2$

=> Hàm số cần tìm là $y =  - {x^2} + 2x + 1$

d)  Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + 1$ đi qua điểm C(-1; 1) nên:

$a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + 1 = 1 \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b$

Đồ thị hàm số  $y = a{x^2} + bx + 1$ có tung độ đỉnh là -0,25 nên:

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} =  - 0,25 \Leftrightarrow  - \frac{{{b^2} - 4.a.1}}{{4a}} =  - 0,25 \Leftrightarrow {b^2} - 4a = a \Leftrightarrow {b^2} = 5a$

Thay a=b ta có:

${b^2} = 5b \Leftrightarrow b=0$ hoặc $b=5$

Vì $a \ne 0$ nên $a=b=5$

=> Hàm số cần tìm là $y = 5{x^2} + 5x + 1$