Mục 3 trang 40, 41 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Cho điểm (Mleft( {{x_o};{y_0}} right)) và đường thẳng (Delta :{rm{a}}x + by +...

HĐ4

Cho điểm $M\left( {{x_o};{y_0}} \right)$ và đường thẳng $\Delta :{\rm{a}}x + by + c = 0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {{\rm{a }};{\rm{ b}}} \right)\left( {\overrightarrow n  \ne 0} \right)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên $\Delta$.

a) Chưng minh rằng $\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM$

b) Giả sử H có tọa độ $\left( {{x_1};{y_1}} \right)$. Chứng minh rằng $\overrightarrow n .\overrightarrow {HM}  = a\left( {{x_o} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_o} - {y_1}} \right) = a{x_o} + b{y_o} + c$

c) Chứng minh rằng $HM = \frac{{\left| {{\rm{a}}{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ 

a) Ta có: $\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {HM} } \right)} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM.1 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM$

b) Ta có : $\overrightarrow n  = \left( {{\rm{a }};{\rm{ b}}} \right)\left( {\overrightarrow n  \ne 0} \right){\rm{ ,}}\overrightarrow {HM}  = \left( {{x_1} - {x_o};{y_1} - {y_o}} \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {HM}  = a\left( {{x_o} - {x_1}} \right) + b\left( {{y_o} - {y_1}} \right) = a{x_o} + b{y_o} + c$ trong đó $a{x_1} + b{y_1} = c$.

c) Ta có: $\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {HM} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {HM} } \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {a{x_o} + b{y_o} + c} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM \Rightarrow HM = \frac{{\left| {a{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Trải nghiệm

Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng A(H7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Khoảng cách từ M đến đường thẳng $\Delta$ chính là độ dài đoạn MH trong đó H là hình chiếu từ M xuống $\Delta$.

Gọi các điểm A, B, C, D như hình vẽ.

Ta có: $OA = 3,OB = 4  \Rightarrow AB =5$

$DB = 2 = \frac{1}{2}OB \Rightarrow CD = \frac{1}{2}OA = 1,5 \Rightarrow MC = 4 - 1,5 = 2,5.$

Lại có: $\widehat {MCH} = \widehat {BCD} = \widehat {BAO}$

Mà: $\sin \widehat {MCH} = \frac{{MH}}{{MC}};\sin \widehat {BAO} = \frac{{OB}}{{AB}} = \frac{4}{5}$

$\Rightarrow \frac{{MH}}{{2,5}} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow MH = 2$

Do đó kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải ở Ví dụ 4.

Luyện tập 5

Tính khoảng cách từ điểm $M\left( {1;2} \right)$ đến đường thẳng$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3t\\y =  - 5 - 4t\end{array} \right.$.

Bước 1: Đưa pt về dạng PT tổng quát

Bước 2: Khoảng cách từ $M({x_0};{y_0})$ đến $\Delta :ax + by + c = 0$ là:

$d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Ta có: 

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 5 + 3t}\\ {y = - 5 - 4t} \end{array}} \right. \Rightarrow 4x + 3y = 4(5 + 3t) + 3( - 5 - 4t) = 5$

Phương trình tổng quát của $\Delta$ là $4x + 3y - 5 = 0$

Khoảng cách từ M đến đường thẳng $\Delta$ là $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 1$.

Vận dụng

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).

a) Chọn hệ trục toạ độ Oxy, có điểm O trùng vớiđiểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D,E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quănglưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Viết phương trình tổng quát của EF, sau đó tính khoảng cách từ B đến EF rồi so sánh với 10,7.

a) Tọa độ các điểm là: $B\left( {0;0} \right),A\left( {0;12} \right),C\left( {15;0} \right),D\left( {15;12} \right),E\left( {5;12} \right),F\left( {15;6} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {EF}  = \left( {10; - 6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {3;5} \right)$. Phương trình tổng quát của EF là: $3\left( {x - 5} \right) + 5\left( {y - 12} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y - 75 = 0$.

b) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng EF là: $d\left( {B,EF} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 5.0 - 75} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2}} }} \approx 12,9\left( m \right)$.

Mặt khác, Nam có thể quăng lưới câu xa 10,7m. Do đó lưỡi câu của Nam không thể rơi vào nơi nuôi vịt được.