Bài 49 trang 79 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x + 4}}$ có đồ thị $\left( C \right)$...

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x + 4}}$ có đồ thị $\left( C \right)$.

a) Tìm đạo hàm của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng $- 3.$

c) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có tung độ bằng $1.$

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm x₀ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).$

a) $f’\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 4}}} \right)^\prime } = \frac{{2\left( {x + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.$

b) Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có hoành độ bằng $- 3.$

$\Rightarrow {x_0} = - 3;{\rm{ }}{y_0} = - 9 \Rightarrow M\left( { - 3; - 9} \right).$

$\Rightarrow f’\left( { - 3} \right) = \frac{{11}}{{{{\left( { - 3 + 4} \right)}^2}}} = 11.$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( { - 3; - 9} \right)$ là:

$y = f’\left( { - 3} \right)\left( {x - \left( { - 3} \right)} \right) + f\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow y = 11.\left( {x + 3} \right) - 9 \Leftrightarrow y = 11x + 24.$

c) Gọi $N\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có tung độ bằng $1.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {y_0} = 1 \Rightarrow \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} + 4}} = 1 \Leftrightarrow 2{x_0} - 3 = {x_0} + 4 \Leftrightarrow {x_0} = 7 \Rightarrow N\left( {7;1} \right).\\ \Rightarrow f’\left( 7 \right) = \frac{{11}}{{{{\left( {7 + 4} \right)}^2}}} = \frac{1}{{11}}.\end{array}$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $N\left( {7;1} \right)$ là:

$y = f’\left( 7 \right)\left( {x - 7} \right) + f\left( 7 \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{{11}}\left( {x - 7} \right) + 1 \Leftrightarrow y = \frac{1}{{11}}x + \frac{4}{{11}}.$