Đề 1 trang 41 Sách bài tập (SBT) Hình học 11: Viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép dời hình có được...

Câu 1. (5 điểm ) 

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $3x - y - 3 = 0$.Viết phương trình đường thẳng d₁ là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v  = \left( { - 1;2} \right)$ và phép quay tâm O góc quay -90°.

Câu 2. (5 điểm ) 

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v  = \left( {2;0} \right)$ phép vị tự tâm O tỉ số $k =  - 3$.

Câu 1.

Lấy điểm $M = \left( {x;y} \right)$

Giả sử ${M_1} = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$ và $M’ = {Q_{\left( {O, - {{90}^0}} \right)}}\left( {{M_1}} \right)$

Ta có:

$\left\{ \matrix{ {x_1} = - 1 + x \hfill \cr {y_1} = 2 + y \hfill \cr} \right.$ và 

$\left\{ \matrix{ x’ = {y_1} \hfill \cr y’ = - {x_1} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 - y` \hfill \cr y = x’ - 2 \hfill \cr} \right.$

Thế $\left( {x;y} \right)$ theo $\left( {x’;y’} \right)$ vào phương trình , ta có:

$3\left( {1 - y’} \right) - \left( {x’ - 2} \right) - 3 = 0$. Như vậy phương trình d’ là :

$x’ + 3y’ - 2 = 0$ hay $x + 3y - 2 = 0$.

Câu 2. Cách 1.

Giả sử ${M_1} = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$ và $M’ = {V_{\left( {O,k =  - 3} \right)}}\left( {{M_1}} \right)$. Ta có:

$\left\{ \matrix{ {x_1} = x + 2 \hfill \cr {y_1} = y + 0 \hfill \cr} \right.$ và 

$\left\{ \matrix{ x’ = - 3{x_1} \hfill \cr y’ = - 3{y_1} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x’ = - 3\left( {x + 2} \right) \hfill \cr y’ = - 3y \hfill \cr} \right.$

Khi đó:

$\left\{ \matrix{ x = {{x’} \over { - 3}} - 2 \hfill \cr y = {{y’} \over { - 3}} \hfill \cr} \right.$

Thế x, y theo x’, y’vào phương trình đường tròn (C) đã cho, ta có:

${\left[ {\left( { - {{x’} \over 3} - 2} \right) - 1} \right]^2} + {\left[ {\left( { - {{y’} \over 3}} \right) - 2} \right]^2} = 9$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( { - {{x’} \over 3} - 3} \right)^2} + {\left( { - {{y’} \over 3} - 2} \right)^2} = 9 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x’ + 9} \right)^2} + {\left( {y’ + 6} \right)^2} = 81 \cr}$

Vậy ${\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 81$ là phương trình của đường tròn ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép dời hình đã cho.

Cách 2.

Đường tròn (C) có tâm $I\left( {1;2} \right)$, bán kính R = 3.

- Qua ${T_{\overrightarrow v }}$ : (C) biến thành đường tròn (C₁) tâm I₁, có tọa độ là :

$\left\{ \matrix{ {x_1} = 1 + 2 = 3 \hfill \cr {y_1} = 2 + 0 = 2 \hfill \cr} \right.$ , bán kính R₁ = 3

- Qua phép vị tự ${V_{\left( {O,k =  - 3} \right)}}$, (C₁) biến thành đường tròn (C’) tâm I’, có tọa độ là :

$\left\{ \matrix{ x’ = - 3{{\rm{x}}_1} = - 9 \hfill \cr y’ = - 3{y_1} = - 6 \hfill \cr} \right.$ , bán kính $R’ = \left| k \right|{R_1} = 9$

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: ${\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {x + 6} \right)^2} = 81$.