Câu 4.56 trang 143 Sách Toán Đại số lớp 11 SBT Nâng cao: Tìm các giới hạn sau...

Tìm các giới hạn sau

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{1 \over x} - {1 \over 3}} \right){1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}$                     b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} - 3} \over {2{x^2} + 3x - 2}}$

a) Với mọi $x \ne 3,$

$\left( {{1 \over x} - {1 \over 3}} \right){1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^3}}} = {{3 - x} \over {3x}}.{1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^3}}} = \left( { - {1 \over {3x}}} \right).{1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.$

Vì  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( { - {1 \over {3x}}} \right) =  - {1 \over 9} < 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} =  + \infty$ nên

                                                $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{1 \over x} - {1 \over 3}} \right){1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^3}}} =  - \infty ;$

b) ${{4{x^4} - 3} \over {2{x^2} + 3x - 2}} = {{4{x^4} - 3} \over {2x - 1}}.{1 \over {x + 2}}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} - 3} \over {2x - 1}} = {{ - 61} \over 5} < 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {1 \over {x + 2}} =  + \infty$ nên

                    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} - 3} \over {2{x^2} + 3x - 2}} =  - \infty .$

Cách giải khác

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \left( {4{x^4} - 3} \right) = 61 > 0,$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \left( {2{x^2} + 3x - 2} \right) = 0$ và $2{x^2} + 3x - 2 < 0$

Với $- 2 < x < {1 \over 2}$  nên

                  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} - 3} \over {2{x^2} + 3x - 2}} =  - \infty .$