Bài 1 trang 113 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D’) Gọi\({G_1}...

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D’)

b) Gọi${G_1},{G_2}$lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D’).

Chứng minh rằng${G_1},{G_2}$lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.

c) Chứng minh rằng $B{G_1} = {G_1}{G_2} = D'{G_2}$

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)

a) Ta có: AD // B’C’, AD = B’C’ nên ADC’B’ là hình bình hành

Suy ra AB’ // DC’ nên AB‘ // (A’C’D) (1)

Ta có: (ACC’A‘) là hình bình hành nên AC // A’C‘

Suy ra AC // (A’C’D‘) (2)

Mà AB‘, AC thuộc (ACB‘) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra (ACB‘) // (A‘C’D)

b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD, A’B’C’D’

Trong (BDD’B’): B’O cắt BD’

Mà B’O thuộc (ACB’), BD’ cắt (ACB’) tại${G_1}$

Suy ra: B’O cắt BD’ tại${G_1}$

Tương tự, ta có: DO’ cắt BD’ tại${G_2}$

Ta có: tam giác ${G_1}OB$ đồng dạng với tam giác ${G_1}B’D’$ (do BD // B’D’)

Suy ra$\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B’}} = \frac{{OB}}{{B’D’}} = \frac{1}{2}$

Nên $\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B’}} = \frac{2}{3}$

Do đó:${G_1}$ là trọng tâm tam giác ACB’

Chứng minh tương tự ta có:${G_2}$ là trọng tâm tam giác A’C’D

c) Ta có tam giác${G_1}OB$ đồng dạng với tam giác ${G_1}B’D’$

Suy ra$\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B’}} = \frac{{OB}}{{B’D’}} = \frac{1}{2}$

Nên ${G_1}B = \frac{1}{3}BD'(1)$

Tương tự ta có:$\frac{{{G_2}D’}}{{{G_2}B}} = \frac{{OD’}}{{DB}} = \frac{1}{2}$

Nên ${G_2}D’ = \frac{1}{3}{\rm{DD}}'(2)$

Từ (1) và (2) suy ra${G_1}B = {G_1}{G_2} = {G_2}D’$