Bài 6 trang 99 Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Cho lăng trụ $ABC. A’B’C’$ có tất cả các cạnh cùng bằng $a$...

Cho lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có tất cả các cạnh cùng bằng $a$, hai mặt phẳng $\left( {A’AB} \right)$ và $\left( {A’AC} \right)$ cùng vuông góc với $\left( {ABC} \right)$.

a) Chứng minh rằng $AA’ \bot \left( {ABC} \right)$.

b) Tính số đo góc giữa đường thẳng $A’B$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

‒ Sử dụng định lí: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

a) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}\left( {A’AB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {A’AC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {A’AB} \right) \cap \left( {A’AC} \right) = AA’\end{array} \right\} \Rightarrow AA’ \bot \left( {ABC} \right)$

b) $AA’ \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A’B,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A’B,AB} \right) = \widehat {ABA’}$

$\Delta AA’B$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat {ABA’} = \frac{{AA’}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {ABA’} = {45^ \circ }$

Vậy $\left( {A’B,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^ \circ }$.