Bài 8 trang 58 Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau...

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau, biết số hạng tổng quát:
a) ${u_n} = \frac{{{n^2}}}{{n + 1}}$
b) ${u_n} = \frac{2}{{{5^n}}}$
c) ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}$

Sử dụng khái niệm, định nghĩa tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số

a) Ta có ${u_n} = \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} > 0\forall n \in {N^*}$nên ${u_n}$bị chặn dưới

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{n + 2}} - \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} = \frac{{{{(n + 1)}^3} - {n^2}(n + 2)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - {n^3} - 2{n^2}}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\forall n \in {N^*}\end{array}$

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có: ${u_n} = \frac{2}{{{5^n}}} \ge \frac{2}{5}\forall n \in {N^*}$nên ${u_n}$ bị chặn dưới

Xét hiệu: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}} - \frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{4}{5}.\frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{8}{{{5^{n + 1}}}} < 0$

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm và bị chặn dưới.

c) Ta có: ${u_n} = {n^2} > 0\forall n = 2k,n,k \in {N^*}$

${u_n} = - {n^2} < 0\forall n = 2k + 1,n,k \in {N^*}$

Dãy số ${u_n}$ là dãy số không tăng không giảm và không bị chặn.